第02章 平面向量（学与练）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教A版必修4）浙江专用

章末复习 学习目标　1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用． 1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 向量运算 法则(或几何意义) 坐标运算 向量的线性运算 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λa＝(λx1，λy1) 向量的数量积运算 a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)，规定0·a＝0， 数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积 a·b＝x1x2＋y1y2 2．两个定理 (1)平面向量基本定理 ①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. ②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (2)向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 3．向量的平行与垂直 a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b 有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0) x1y2－x2y1＝0 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 1．平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　×　) 提示　平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底． 2．若向量和向量共线，则A，B，C，D四点在同一直线上．(　×　) 提示　也可能AB∥CD. 3．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　×　) 4．若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　×　) 提示　当a，b同向共线时，a·b>0，但a和b的夹角为0.当a，b反向共线时，a·b<0，但a和b的夹角为π. 类型一　向量的线性运算 例1　若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　) A. B. C. D. 考点　平面向量基本定理的应用 题点　利用平面向量基本定理求参数 答案　C 解析　因为＝4＝r＋s， 所以＝＝(－)＝r＋s， 所以r＝，s＝－，所以3r＋s＝－＝. 反思与感悟　向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题． 跟踪训练1　(2017·广东深圳二模)如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A. B. C. D．2 考点　平面向量基本定理的应用 题点　利用平面向量基本定理求参数 答案　B 解析　因为＝λ＋μ ＝λ(＋)＋μ(＋) ＝λ＋μ(－＋) ＝(λ－μ)＋， 且＝＋，所以得 所以λ＋μ＝，故选B. 类型二　向量的数量积运算 例2　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)． (1)用k表示数量积a·b； (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小． 考点　平面向量数量积的运算性质与法则 题点　求向量的数量积的最值 解　(1)由|ka＋b|＝|a－kb|， 得(ka＋b)2＝3(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2. ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∵|a|＝＝1，|b|＝＝1， ∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0， ∴a·b＝＝(k>0)． (2)a·b＝＝. 由对勾函数的单调性可知，f(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， ∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝， 此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝， 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°. 反思与感悟　数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题 ①设a＝(x1，y1)，则|a|＝. ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π) cos θ＝＝ . 跟踪训练2　已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　) A．－ B. C. D. 考点　平面向量数量积的概念与几何意义 题点　平面向量数量积的概念与几何意义