第03章 三角恒等变换（课件）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教A版必修4）浙江专用

3.1.1　两角差的余弦公式 第三章　§3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1 学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程. 2.理解用向量法导出公式的主要步骤. 3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一　两角差的余弦公式的探究 思考1　如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明. 答案　不正确. 故cos(α－β)≠cos α－cos β； 故cos(α－β)≠cos α－cos β. 思考2　计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想. ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝______； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝______； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝______； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝______. 猜想： cos αcos β＋sin αsin β＝__________， 即________________________________. 1 0 cos(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 知识点二　两角差的余弦公式 答案　A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β). 思考2　请根据上述条件推导两角差的余弦公式. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 梳理　C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角. (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反. [思考辨析 判断正误] 1.存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos α－cos β.(　　) √ 2.任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　) × 提示　由两角差的余弦公式可知不正确. 3.任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(　　) √ 答案 提示 11 题型探究 类型一　利用两角差的余弦公式化简求值 例1　计算： (1)cos(－15°)； 解答 解　方法一　原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° 方法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解答 解　原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0. 反思与感悟　利用两角差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解. (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值. 跟踪训练1　化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为 答案 √ 解析 解析　cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45° ＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45° 类型二　给值求值 答案 √ 解析 解答 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 反思与感悟　给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换. (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝ ③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β). 解答 以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1， 类型三　给值求角 解答 又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α 解答 反思与感悟　求解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值. (2)确定角的范围. (3)根据角的范围写出所求的角. 解答 达标检测 答案 1 2 3 4 √ 解析 5 1 2 3 4 答案 解析 5 √ 答案 1 2 3 4 解析 √ 5 1 2 3 4 5 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β). 答案 解析 1 2 3 4 4.cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α