第03章 三角恒等变换（学与练）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教A版必修4）浙江专用

章末复习 学习目标　1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差的公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明． 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β. sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β. sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β. tan(α＋β)＝. tan(α－β)＝. 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝. 3．升幂缩角公式 1＋cos 2α＝2cos2α. 1－cos 2α＝2sin2α.[来源:Z&xx&k.Com] 4．降幂扩角公式 sin xcos x＝，cos2x＝， sin2x＝. 5．和差角正切公式变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 6．辅助角公式 y＝asin ωx＋bcos ωx＝sin(ωx＋θ)． 1．两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　√　) 2．对任意角α，sin 2α＝2sin α均不成立．(　×　) 提示　如α＝kπ，k∈Z，则sin 2α＝2sin α＝0. 3．y＝sin x＋cos x的最大值为2.(　×　) 提示　∵y＝sin x＋cos x＝sin，∴函数最大值为. 4．存在角α，β，使等式cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立．(　√　) 提示　如α＝－，β＝，则cos(α＋β)＝cos＝，cos α＋cos β＝cos＋cos ＝cos ＝，两式相等. 类型一　三角函数求值 例1　(1)的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 考点　利用简单的三角恒等变换化简求值 题点　综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案　B 解析　原式＝＝ ＝＝. (2)已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值． 考点　两角和与差的正切公式 题点　利用两角和与差的正切公式求角 解　∵α是锐角，cos α＝， ∴sin α＝，tan α＝.[来源:Zxxk.Com] ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝. ∵β是锐角，故cos β＝. 反思与感悟　三角函数的求值问题通常包括三种类型 给角求值，给值求值，给值求角． 给角求值的关键是将要求角转化为特殊角的三角函数值；给值求值关键是找准要求角与已知角之间的联系，合理进行拆角、凑角；给值求角实质是给值求值，先求角的某一三角函数值，再确定角的范围，从而求出角．[来源:学+科+网Z+X+X+K] 跟踪训练1　已知α∈，sin α＝. (1)求sin的值； (2)求cos的值． 考点　利用简单的三角恒等变换化简求值 题点　综合运用三角恒等变换公式化简求值 解　(1)因为α∈，sin α＝， 所以cos α＝－＝－. 故sin＝sin cos α＋cos sin α ＝×＋×＝－. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝， 所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝×＋×＝－. 类型二　三角函数式的化简与证明 例2　化简：. 考点　利用简单的三角恒等变换化简求值 题点　综合运用三角恒等变换公式化简求值 解　原式＝ ＝＝ ＝cos 2x. 反思与感悟　三角函数化简常用策略有：切化弦、异名化同名、降幂公式、1的代换等，化简的结果应做到项数尽可能少，次数尽可能低，函数名尽量统一． 三角函数证明常用方法有：从左向右(或从右向左)，一般由繁向简；从两边向中间，左右归一法；作差证明，证明“左边－右边＝0”；左右分子、分母交叉相乘，证明差值为0等． 跟踪训练2　在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos cos cos . 考点　三角恒等式的证明 题点　三角恒等式的证明 证明　因为A＋B＋C＝π， 所以C＝π－(A＋B)，＝－. 因此sin A＋sin B＋sin C＝2sin ·cos ＋sin(A＋B)＝2sin cos ＋2sin cos ＝2sin ＝2sin ·2cos ·cos ＝2cos ·2cos ·cos ＝4cos ·cos ·cos . 类型三　三角恒等变换与函数、向量的综合运用 例3　(2017·金华十校期末)设平面向量a＝，b＝(cos x，－1)，函数f(x)＝a·b. (1)求f(x)的最小正周期，并求出f(x)的单调递增区间； (2)若锐角α满足f＝，求