疑难规律方法02 平面向量-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教A版必修4）浙江专用

1　向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握． 一、向量a，b共线 例1　如图，已知共线向量a，b，求作a＋b. (1)a，b同向； (2)a，b反向，且|a|＞|b|； (3)a，b反向，且|a|＜|b|. 作法　在与a平行的同一条直线上作出三个向量＝a，＝b，＝a＋b，具体作法是：当a与b方向相同时，a＋b与a，b的方向相同，长度为|a|＋|b|；当a与b方向相反时，a＋b与a，b中长度长的向量方向相同，长度为||a|－|b||.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a垂直的方向稍加平移，然后分别标上a，b，a＋b.作图如下： 例2　如图，已知共线向量a，b，求作a－b. (1)a，b同向，且|a|＞|b|； (2)a，b同向，且|a|＜|b|； (3)a，b反向． 作法　在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.事实上a－b可看作是a＋(－b)，按照这个理解和a＋b的作图方法不难作出a－b，作图如下： 二、向量a，b不共线 如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图． 例3　如图，已知向量a，b. 求作：(1)a＋b；(2)a－b. 作法1　(应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O. 第一步：作＝a，方法是将一个三角板的直角边与a重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取||＝|a|，并使与a同向． 第二步：同第一步方法作出＝b，一定要保证方向相同且长度相等．(此处最易错的是把作成与b的方向相反．) 第三步：作，即连接OB，在B处打上箭头，即为a＋b. 作图如下： (2)第一步：在平面上a，b位置之外任取一点O； 第二步：依照前面方法过O作＝a，＝b； 第三步：连接AB，在A处加上箭头，向量即为a－b. 作图如下： 点评　向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”． 作法2　(应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A，以点A为起点作＝a， ＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD， 则＝a＋b，＝a－b.作图如下： 点评　向量的平行四边形法则和三角法则在本质上是一样的，但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性，因此两种法则都应熟练掌握． 向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同，长度相等”，最忌讳的是“作法不一”，比如作法中要求的是作＝b，可实际上作的是＝－b.只要作图的过程与作法的每一步相对应，一定能作出正确的图形. 2　向量线性运算的应用 平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用．在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面． 一、化简 例1 化简下列各式： (1)(2－)－(－2)； (2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]． 解　(1)(2－)－(－2) ＝2－－＋2＝2＋＋＋2 ＝2(＋)＋(＋)＝2＋＝. (2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)] ＝(6a＋24b－24a＋12b) ＝(－18a＋36b) ＝－a＋b.[来源:学科网] 点评　向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用．数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a，b，c等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量． 二、求参数 例2 如图，已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________. 解析　如图，因为＋＋＝0， 即＝－(＋)， 即＝＋， 延长AM，交BC于D点， 所以D是BC边的中点，所以＝2， 所以＝，所以＋＝2＝3， 所以m＝3. 答案　3[来源:Z&xx&k.Com] 点评　求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值． 三、表示向量 例3 如图所示，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于点N， 设＝a，＝b，用向量a，b表示，，，，. 解　因为DE∥BC，＝， 所以＝＝b，＝－＝b－a， 由△ADE∽△ABC，得＝＝(b－a)， 又M是△ABC底边BC的中点，DE∥BC， 所以＝＝(b－a)， ＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝