疑难规律方法03 三角恒等变换-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教A版必修4）浙江专用

1　三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换．观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧． 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1　已知cos＝，求cos的值． 分析　将＋α看作一个整体，观察＋α与－α的关系． 解　∵＋＝π， ∴－α＝π－. ∴cos＝cos ＝－cos＝－，即cos＝－. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例2　设α为第四象限角，若＝，则tan 2α＝__________________________________. 分析　要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到＝中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α.[来源:Z.xx.k.Com] 解析　由＝＝ ＝2cos2α＋cos 2α＝. ∵2cos2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝.∴cos 2α＝.[来源:学_科_网Z_X_X_K] ∵α为第四象限角，∴2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)， ∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)， ∴2α可能在第三、四象限， 又∵cos 2α＝，∴2α在第四象限， ∴sin 2α＝－，tan 2α＝－. 答案　－ 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3　已知sin＝，0<x<，求的值． 分析　转化为已知角的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式子化简，使其出现这个角的三角函数． 解　原式＝＝ ＝2sin＝2cos， ∵sin＝，且0<x<，∴－x∈. ∴cos＝ ＝， ∴原式＝2×＝. 四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角 例4　求函数f(x)＝sin(x－20°)－cos(x＋40°)的最大值． 分析　观察角(x＋40°)－(x－20°)＝60°，可以把x＋40°看成(x－20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f(x)． 解　f(x)＝sin(x－20°)－cos[(x－20°)＋60°] ＝sin(x－20°)－sin(x－20°)－cos(x－20°)cos 60°＋sin(x－20°)sin 60° ＝[sin(x－20°)－cos(x－20°)]＝sin(x－65°)， 当x－65°＝k·360°＋90°，即x＝k·360°＋155°(k∈Z)时，f(x)有最大值. 2　三角恒等变换的几个技巧 三角题是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助． 一、灵活降幂 例1 ＝________. 解析　＝＝＝2. 答案　2 点评　常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1进行降幂：如cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ，等等． 二、化平方式 例2 化简求值： .[来源:学科网ZXXK] 解　因为α∈，所以∈，所以cos α>0， sin>0，故原式＝ ＝ ＝ ＝sin. 点评　一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos2α、2sin2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2. 三、灵活变角 例3 已知sin＝，则cos＝________. 解析　cos＝2cos2－1 ＝2sin2－1＝2×2－1＝－. 答案　－ 点评　正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“－α”表示待求角“＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余． 四、构造齐次弦式比，由切求弦 例4 已知tan θ＝－，则的值是________． 解析　＝ ＝＝＝＝3. 答案　3 点评　解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比． 五、分子、分母同乘以2nsin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n－1·α的值 例5 求cos cos cos cos cos 的值． 解　原式＝－cos cos cos cos cos ＝ ＝＝＝ ＝＝. 点评　这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可. 3　聚焦三角函数最值的求解策略 一、化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求解 例1　求函数f(x)＝的最值． 解　原函数变形得f(x)＝ ＝＝ ＝sin 2x＋. ∴f(x)max＝，f(x)min＝. 例2　求函数y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的最小值，并写出y取