专题07 数列-2019年高考数学备考冲刺之回归教材集训

专题07 数列 【必备知识点】 1、数列中 与 之间的关系： 注意通项能否合并。 2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即 － =d ，（n≥2，n∈N ）， 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项：若三数 成等差数列 ⑶通项公式： 或 ⑷前 项和公式： ⑸常用性质： ①若 ，则 ； ②下标为等差数列的项 ，仍组成等差数列； ③数列 （ 为常数）仍为等差数列； ④若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、 、，…也成等差数列。 ⑤单调性： 的公差为 ，则： ⅰ） EMBED Equation.3 为递增数列； ⅱ） EMBED Equation.3 为递减数列； ⅲ） EMBED Equation.3 为常数列； ⑥数列{ }为等差数列 （p,q是常数） ⑦若等差数列 的前项和，则、、… 是等差数列。 3、等比数列 ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。 ⑵等比中项：若三数 成等比数列 （ 同号）。反之不一定成立。 ⑶通项公式： ⑷前 项和公式： ⑸常用性质 ①若 ，则 ； ② 为等比数列，公比为 (下标成等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列 （ 为不等于零的常数）仍是公比为 的等比数列；正项等比数列 ；则 是公差为 的等差数列； ④若 是等比数列，则 是等比数列，公比依次是 ⑤单调性： EMBED Equation.DSMT4 为递增数列； 为递减数列； 为常数列； 为摆动数列； ⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列 的前项和，则、、… 是等比数列. 4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前项和与 的关系，求数列 的通项 可用公式 构造两式作差求解。 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即 和 合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。 类型Ⅲ 累加法：[来源:学#科#网Z#X#X#K] 形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造： 将上述 个式子两边分别相加，可得： ①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和; ④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和. 类型Ⅳ 累乘法： 形如 EMBED Equation.DSMT4 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造： 将上述 个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法： ㈠形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式： （1）若 时，数列{ }为等差数列; [来源:学+科+网] （2）若 时，数列{ }为等比数列; （3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种： 法一：设 ,展开移项整理得 ,与题设 比较系数（待定系数法）得 EMBED Equation.DSMT4 ,即 构成以 为首项，以 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得 法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以 为首项，以 为公比的等比数列.求出 的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如 EMBED Equation.DSMT4 型的递推式： ⑴当 为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得 法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得： ，令 得： 转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ⑵当 为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得 法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边同时乘以 得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q, r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），得： 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。 ⑶当 为任意数列时，可用通法： 在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ，在转