广东省深圳市2019届高三第二次（4月）调研考试数学(文）试题（图片版）

文科数学试题第1页（共13页） 2019 年深圳市高三第二次调研考试 文科数学试题答案及评分参考 第Ⅰ卷 一．选择题 （1） C （2） A （3） D （4） C （5） B （6）C （7） A （8） B （9） C （10）B （11）C （12）D 12.【解法 1】 1 2 2 ( ) 1 22 a x x a f x x xx − −  = − − = ． 注意到函数 2y x x= − 在 ( )1 +， 上单调递增，且2 1x x−  ． 若 1 2 a  ，则1 2 0a−  ，则 ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 在 ( )1 +， 上单调递增，故 ( ) (1) 0f x f = ， 不合题意，应舍去． 当 1 2 a  时，此时存在 ( )0 1x  +， ，使得当 ( )01x x ， 时， ( )f x 单调递减，当 ( )0 ,x x + 时， ( )f x 单调递增．因为 (1) 0f = ，所以 0( ) 0f x  ．又因为 ( ) 2( 1) 0f a+  ，故此时 ( )f x 在 ( )1 +， 上必定存在零点．综上所述，答案为 D． 【解法 2】函数 ( )f x 在 ( )1 +， 上存在零点，即方程 ln 0x x a x− − = 在 ( )1 +， 上有解， 设 ( 1)t x t=  ，则方程可化为 2 2 ln 0( 1)t t a t t− − =  ，显然当 0a = 时，方程在 ( )1 +， 上无解； 当 0a  时，方程可化为 1 ln ( 1) 2 t t a t − = ，通过研究直线 1 ( 1) 2 y t a = − 与曲线 ln t y t = 的位置关 系，易知 1 0 1 2a   ，所以 1 2 a  . 【解法 3】此题作为选择题，结合答案是有一些较为灵活的解题方法的，比如可以将问题转化为 直 线 ( )g x x= 与 ( ) lnh x x a x= + 在 ( )1 +， 上 有 交 点 ， 注 意 到 0a  和 函 数 ( ) lnh x x a x= + 的凹凸性以及 ( ), ( )g x h x 均过点 ( )1,1 ，故可研究 ( )h x 在 ( )1,1 处的切线即可． 二．填空题： 13． 4 14．1 15． 2 3 16． 2π 3 16【解法 1】设 A BD 的外接圆半径为 r ， 2A DB  = ，其中 π (0, ) 2   ．由正弦定理易得 文科数学试题第2页（共13页） 4sin 2 sin 2 r   = ，故 1 cos r  = ．由题意知 21 = 5r+ ． 解得 1 cos = 2  ，所以 A DB 2π =2 = 3  ． 【解法 2】设 A BD 的外接圆半径为 r ， 2A DB  = ，其中 π (0, ) 2   ，并设 A B 中点为 M ， DM b= ， A M a = ，则有 2 2 2( )a b r r+ − = ，由于 2 2 4a b+ = ，由此可得 2br = ，又因为 21 =5r+ ，所以 =2r ，而 1 1 cos = 2 2 b r  = = ，所以 A DB 2π =2 = 3  ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 na 满足 1 2a = , 1 2 2 n n na a+ = + + ( )n N ． （1）判断数列{ 2 } n na − 是否为等差数列，并说明理由； （2）记 nS 为数列 na 的前n 项和，求 nS ． 【解析】(1) 设 2n n nb a= − ，则 1 1 1 2 n n nb a + + += − ，……………………………2 分 则 1 1 1 1( 2 ) ( 2 ) 2 n n n n n n n n nb b a a a a + + + +− = − − − = − − ， ……………………4 分 ( 2 2) 2 2n nn na a= + + − − = ( )n N ， ……………………………5 分 所以，数列{ 2 } n na − 是首项为0 ，公差 2d = 的等差数列．………………6 分 (2)由（1）可知 2 0