吉林省长春市普通高中2019届高三质量检测（三）数学（理）试题（扫描版）

$$长春市2019年高三质量监测（三） 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. A 2. D 3. A 4. B 5.C 6. A 7. D 8. B 9. D 10. B 11. C 12. C 简答与提示： 1. 【命题意图】本题考查诱导公式. 【试题解析】A .故选A. 2. 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D .故选D. 3. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】A .故选A. 4. 【命题意图】本题考查程序框图. 【试题解析】B　可知. 故选B. 5. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识. 【试题解析】C　 .故选C. 6. 【命题意图】本题主要考查平面向量. 【试题解析】A 可知. 故选A. 7. 【命题意图】本题考查条件概率的相关知识. 【试题解析】D　可知. 故选D. 8. 【命题意图】本题主要考查空间直线与平面位置关系. 【试题解析】B　可知. 故选B 9. 【命题意图】本题考查统计识图能力. 【试题解析】D　可知ABC正确.故选D. 10. 【命题意图】本题主要考查函数性质的相关知识. 【试题解析】B 确定函数为偶函数，代入特殊值，可排除A，C，当 .故选B. 11. 【命题意图】本题主要考查抛物线的相关知识. 【试题解析】C　做O点关于准线的对称点M，则所求距离和的最小值为|AM|.故选C. 12. 【命题意图】本题主要考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】C 先确定 ，借助条件等式，用 表示 ， ，得到关于 的函数关系式 ，通过构造函数并求导确定该函数的单调性求出答案.故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分） 13. EMBED Equation.DSMT4 14. 15.① = 2 \* GB3 ② = 4 \* GB3 ④ 16. 三、解答题 17. (本小题满分12分) 【命题意图】本题考查解三角形的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得： ，所以 ， ， 所以 ，所以 . （6分） （Ⅱ）设 ，则 ，则 ， 所以 解得： 所以 . （12分） 18. (本小题满分12分) 【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意得，第一车间样本工人20人，其中在75min内（不含75min） 生产完成一件产品的有6人，第二车间样本工人40人，其中在75min内（不含75min） 生产完成一件产品的有 人，故第一车间工人中有60人， 第二车间工人中有300名工人中在75min内生产完成一件产品；（4分） （II）第一车间样本平均时间为 （min）， 第二车间样本平均时间为 （min）， ∵ ，∴乙车间工人生产效率更高；（8分） （III）由题意得，第一车间样本生产时间小于75min的工人有6人，从中抽取3人， 其中生产时间小于65min的有2人，随机变量X服从超几何分布， X可取值为0，1，2， ， ， X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望 . （12分） 19. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】（Ⅰ）证明：在 中， ，在 中， ， ， ， 所以平面 平面 ；（4分） （Ⅱ）在平面POB内作 ， . ∴直线PB与平面ABCE夹角为 ， 又 ， ，O、Q两点重合， 即 ， 以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴， 建立空间直角坐标系， 由题意得，各点坐标为 ， ， ， ∴ ， ， 设平面PCE的一个法向量为 ， 则 ，即 ，设 ， 则 ， ，∴ ， 由题意得平面PAE的一个法向量 ， 设二面角A-P-EC为 ， . 即二面角A-P-EC为 的余弦值为 . （12分） 20. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ） ， ，又 ，且 ， ， ，因此椭圆C的方程为 . （4分） （Ⅱ）法一：设 ， ， ， ， 直线 ： ……① 直线 ： ……② 由①，②解得： ，又 ， ， 四边形 的面积 ， ， 当 时， 的最大值为 . （12分） 法二：设直线 ： ，则直线 ： ……① 直线 与椭圆C： 的交点M的坐标为 ， 则直线 的斜率为 ， 直线 ： ……② 由①，②解得N点的横坐标为 ， 四边形 的面积 ， 当且仅当 时， 取得最大值 . （12分） 21. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考