人教版中考专题数学-常见几何辅助线的添加 讲义 练习 （PDF版）

演练方阵 常见几何辅助线的添加 中点相关辅助线的添加技巧 类型一：倍长中线法添加辅助线 ☞考点说明：倍长中线法添加辅助线的核心特点是构造“8 字型”，无论倍长标准的中线、倍 长过中点的任意线段还是通过平行来实现“8字型”的构造，其添加辅助线后得到的模型都是 “8字型”. 【中】1.已知：如图，Rt△ ABC 中，AC＞BC，∠ACB=90°，CD 是△ ABC 的中线，点 E 在 CD 上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC． 【中】2.如图：E 在△ ABC 的 AC 边的延长线上，D 点在 AB 边上，DE 交 BC 于点 F，DF=EF， BD=CE．求证：△ ABC 是等腰三角形． 【中】3.如图，已知 D 是△ ABC 的边 BC 上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE 是△ ABD 的中线． （1）若∠B=60°，求∠C 的值； （2）求证：AD 是∠EAC 的平分线． 【中】4.如图，等边△ ABC 的边长为 12cm，D 为 AC 边上一动点，E 为 AB 延长线上一动 点，DE 交 CB 于点 P，点 P 为 DE 中点 （1）求证：CD=BE； （2）若 DE⊥AC，求 BP 的长． 【中】5.在△ ABC 中，AD 是△ ABC 的角平分线． （1）如图 1，过 C 作 CE∥AD 交 BA 延长线于点 E，若 F 为 CE 的中点，连接 AF，求证： AF⊥AD； （2）如图 2，M 为 BC 的中点，过 M 作 MN∥AD 交 AC 于点 N，交 BA 的延长线于 E，若 AB=8，AC=14，求 NC 的长． 【中】6.已知：如图，点 A 是△ ABC 和△ ADE 的公共顶点，∠BAC+∠DAE=180°，AB=AE， AC=AD，点 M 是 DE 的中点，直线 AM 交直线 BC 于点 N．将△ ADE 绕点 A 旋转，在旋 转的过程中，请探究∠ANB 与∠BAE 的数量关系，并加以证明． 【难】7.在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EF⊥AB 交 BD 于点 F，取 FD 的中点 G，连接 EG、CG，如图（1），易证 EG=CG 且 EG⊥CG． （1）将△ BEF 绕点 B 逆时针旋转 90°，如图（2），则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和 位置关系？请直接写出你的猜想． （2）将△ BEF 绕点 B 逆时针旋转 180°，如图（3），则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关 系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【难】8.如图甲，操作：把正方形 CGEF 的对角线 CE 放在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线 上（CG＞BC），取线段 AE 的中点 M． （1）探究线段 MD、MF 的位置及数量关系，直接写出答案即可； （2）将正方形 CGEF 绕点 C 逆时针旋转 45°（如图乙），令 CG=2BC 其他条件不变，结论 是否发生变化，并加以证明； （2）将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段 MD， MF 的位置及数量关系，并加以证明． 类型二：直角三角形斜边上的中线型辅助线 ☞考点说明：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可知，在直角三角形中， 常需要添加的辅助线是连结斜边上的中线，得到斜边上的中线等于斜边的一样这一线段之间 的关系，而这一线段的等量关系常会与中位线模型结合考查，而当题目中没有已知的直角三 角形时，常需要通过三线合一的性质来构造直角. 【易】1.已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F 分别是 AC、BD 的中点．求证：EF⊥BD． 【易】2.如图，∠ACB=∠ADB=90°，M、N 分别为 AB、CD 的中点．求证：MN⊥CD． 【中】3.已知：如图，在△ ABC 中，AD 是 BC 边上的高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE 是 AB 边上的中线． （1）CD= 2 1 AB； （2）若 CG=EG，求证：DG⊥CE． 【中】4.在△ ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA，CB 到点 E，F，使 DE=DF；过 E， F 分别作 CA，CB 的垂线，相交于 P．求证：∠PAE=∠PBF． 【难】5.如图 1，已知锐角△ ABC