黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题（图片版）

$$二模考试参考答案 1-12 ACBAD ADCAA BD 13．-1 14． 15．1 16． 17. （1）由 ……① 时， ……② ①-②可得： ，，设公比为 （2）证明：由已知：即： 18. （1）略 （2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则， 设，则， 设是平面的一个法向量， ， 设直线与平面所成角为，由，得： ． 化简得：，解得或， 故存在点满足题意，此时为或． 19. （1）（2）预计方案2投资较少.详见解析 （2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为： ，，， ∴按照方案1奖励的总金额为：元， 方案2：设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金， 则的可能值为“0，200，300”， ∵摸到红球的概率：，∴ ， ，， ∴的分布列为 0 200 300 ∴元， ∴按照方案2奖励的总金额为： 元， ∵方案1奖励的总金额多于方案1奖励的总金额， ∴预计方案2投资较少. 20.解：(1)由已知得e＝，即a2＝2c2.∵a2＝b2＋c2，∴b＝c.设B点的纵坐标为y0(y0≠0)，＝ 则S△ABF1＝. －1，∴b＝1，a＝b－b)b＝，即((a－c)b＝(a－c)·|y0|≤ ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由(1)可知F1(－1,0)，由题意知直线l的斜率不为0，故设直线l：x＝my－1， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)，Q(2，yQ)． 联立，得消去x，得(m2＋2)y2－2my－1＝0， 此时Δ＝8(m2＋1)＞0，∴y1＋y2＝. ，y1y2＝－ 由弦长公式，得|MN|＝. ·＝2 |y1－y2|＝ 又yP＝， ·|xP－2|＝，∴|PQ|＝，∴xP＝myP－1＝＝ ∴）≥2， ＋（＝·＝＝ 当且仅当，即m＝±1时等号成立， ＝ ∴当m＝±1，即直线l的斜率为±1时，取得最小值2. 21. 函数 的定义域为 ， （1）当 时， ， ， 在 单调递增且 当 时， ，所以 在 上单调递减； 当 时， ，则 在 上单调递增， 所以 有极小值 ，无极大值. （2）先证明：当 恒成立时，有 成立 若 ，则 显然成立； 若 ，由 得 ，令 ，则 ， 令 ，由 得 在 上单调递增， 又∵ ，所以 在 上为负，递减，在 上为正，递增，∴ ，从而 . 因而函数 若有两个零点，则 ，所以 ， 由 得 ，则 ， ∴ 在 上单调递增，∴ ， ∴ 在 上单调递增∴ ，则 ∴ ，由 得 ， 则 ，∴ ，综上 22. （1）因为的参数方程为，（为参数），所以其普通方程为，又，所以可得极坐标方程分别为：，. （2），，，的极坐标方程为， 把代入得，，把代入得，.，即，两点间的距离为. 23. （1）当时，定义域基本要求为： 当时， 当时，，无解 当时， 综上：的定义域为 （2）由题意得：恒成立 $$