【配套PPT课件】第02章 平面向量（三）含章末检测-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（北师大版必修4）

第二章　平面向量 §6　平面向量数量积的坐标表示 1 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的模. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一　平面向量数量积的坐标表示 答案　i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0. 设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量. 思考1　i·i，j·j，i·j分别是多少？ 答案　∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2. 思考2　取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b. 梳理　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .这就是说，两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. x1x2＋y1y2 知识点二　向量模的坐标表示 答案　∵a＝xi＋yj，x，y∈R， ∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xy i·j＋(yj)2＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2. 又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0， ∴a2＝x2＋y2，即|a|2＝x2＋y2， 思考　若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示. 梳理　设a＝(x，y)，则|a|2＝ ，或|a|＝ . x2＋y2 知识点三　向量夹角的坐标表示 思考　设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？ 梳理　设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则 (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 知识点四　直线的方向向量 答案　与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量. 思考1　什么是直线的方向向量？ 答案　不唯一.因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个. 思考2　直线的方向向量唯一吗？ 梳理　(1)给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量. [思考辨析 判断正误] 1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(　　) 2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(　　) 3.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角. (　　) 提示　当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角. √ √ 答案 提示 × 题型探究 类型一　平面向量数量积的坐标表示 例1　已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求a的坐标； 解　设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)， 则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2， ∴a＝(2，4). (2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c. 解　∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， ∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10). 解答 反思与感悟　此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)，即向量运算结合律一般不成立. 跟踪训练1　向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于 A.－1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2 解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， 所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)， 则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C. √ 答案 解析 类型二　向量的模、夹角问题 例2　在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16，12)，B(－5，15). 解答 (2)求∠OAB. 解答 ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300， ∴∠OAB＝45°. 反思与感悟　利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. (3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值. 跟踪训练2　已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围. 解答 又∵a，b的夹角α为钝角， ∴λ<1且λ≠－1. ∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1). 解　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，