初升高衔接教材高一预科班数学 第13讲 二次函数的再研究(含课件与练习） (共2份打包)

对于给定的二次函数y＝－2x2＋8x＋24. 问题1：将该二次函数化成顶点式． 提示：顶点式为y＝－2(x－2)2＋32. 问题2：该函数的单调区间是什么？ 提示：单调增区间为(－∞，2]，减区间为[2，＋∞)． 问题3：当自变量x取何值时，函数的图像达到最高点？ 提示：当x＝2时，函数的图像达到最高点． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图　 像 a>0 a<0 上 下 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 性　质 (1)抛物线开口向 ，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向 ， 并向下无限延伸 (2)对称轴是x＝ ，顶点坐标是 (2)对称轴是x＝ ， 顶点坐标是 －eq \f(b,2a) －eq \f(b,2a) (－eq \f(b,2a)，eq \f(4ac－b2,4a)) (－eq \f(b,2a)，eq \f(4ac－b2,4a)) 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 性　质 (3)在区间 上是减函数，在区间 上是增函数 (3)在区间 上是增函数，在区间 上是减函数 (4)抛物线有最低点，当x＝－eq \f(b,2a)时，y有最小值，ymin ＝ (4)抛物线有最高点， 当x＝－eq \f(b,2a)时，y有最大值， ymax＝ (－eq \f(b,2a)，+∞] (－∞，－eq \f(b,2a)] (－eq \f(b,2a)，+∞] (－∞，－eq \f(b,2a)] eq \f(4ac－b2,4a) eq \f(4ac－b2,4a) 配方法是研究二次函数最值及对称轴、顶点坐标等的基本方法，在探究出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴后，其图像的对称性及单调性就会较直观地反应在大脑中． [思路点拨] [例1]　已知函数y＝f(x)＝3x2＋2x＋1. (1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)已知f(－eq \f(2,3))＝1，不计算函数值，求f(0)； (3)不直接计算函数值，试比较f(－eq \f(3,4))与f(eq \f(15,4))的大小． [精解详析]　∵y＝f(x)＝3x2＋2x＋1＝3(x＋eq \f(1,3))2＋eq \f(2,3). (1)顶点坐标为(－eq \f(1,3)，eq \f(2,3))，对称轴是直线x＝－eq \f(1,3)； (2)∵f(－eq \f(2,3))＝1，又|0－(－eq \f(1,3))|＝eq \f(1,3)， |－eq \f(2,3)－(－eq \f(1,3))|＝eq \f(1,3)， 所以结合二次函数的对称性可和f(0)＝f(－eq \f(2,3))＝1； (3)由f(x)＝3(x＋eq \f(1,3))2＋eq \f(2,3)知二次函数图像开口向上，且对称轴为x＝－eq \f(1,3)，所以离对称轴越近，函数值越小． 又|－eq \f(3,4)－(－eq \f(1,3))|<|eq \f(15,4)－(－eq \f(1,3))|， ∴f(－eq \f(3,4))<f(eq \f(15,4))． [一点通] 1．已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，进而确定顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h. 2．比较两点函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两个点转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较它们的大小． 答案：D 1．下列区间中，使函数y＝－2x2＋x是增函数的是 (　　) A．R　　　　　　　　　　B．[2，＋∞) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) 解析：函数y＝－2x2＋x＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2＋eq \f(1,8)的图像的对称轴是直线x＝eq \f(1,4)，图像的开口向下，所以函数在对称轴x＝eq \f(1,4)的左边是增加的． 2．(1)若f(x)＝－x2＋2ax在(－∞，2)上是增函数，求实数 a的取值范围．