初升高衔接教材高一预科班数学第3讲 一元二次方程的根与系数关系(含课件与练习） (共2份打包)

* * 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． * 一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 ，用配方法将其变形为： (1) 当 时，方程有两个不相等的实数根： (2) 当 时，方程有两个相等的实数根： (3) 当 时，方程没有实数根． 根的判别式 * 一、一元二次方程的根的判断式 说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式． 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： * 一、一元二次方程的根的判断式 【例2】已知关于的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3) 方程有实数根； (4) 方程无实数根． * 一、一元二次方程的根的判断式 【例3】已知实数 、满足 ，试求 的值． 由于 是实数，所以此方程有实数根，因此： 解：把方程看作是关于 的方程，整理得： 代入原方程得： ． 综上知： . * 二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 的两个根为： 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是 ． * 二、一元二次方程的根与系数的关系 【例4】若 是方程 的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 解：由题意，由根与系数的关系得： . (1) . (2) . (3) . (4) . 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ， ， ， ， ， 等等．韦达定理体现了整体代换思想． * 二、一元二次方程的根与系数的关系 【例5】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 解：法一 设这两个数分别是 ， ，则 EMBED Equation.DSMT4 或 . 因此，这两个数是－2和6． 法二 由韦达定理知，这两个数是方程 2－4 －12＝0的两个根． 解方程得： 1＝－2， 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． * 二、一元二次方程的根与系数的关系 说明：务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 ． * 二、一元二次方程的根与系数的关系 $$ A 组 1．已知一元二次方程 有两个不等的实数根，求 的取值范围. 2．若 是方程 的两个根，求 的值. 3．如果方程 的两根相等，请您写出 之间的关系． 4．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 的两个根，求这个直角三角形的斜边的长． 5．若方程 的两根之差为1，请问 的值是多少． 6．设 是方程 的两实根， 是关于 的方程 的两实根，请您求出 ， 的值． 7．已知关于 的一元二次方程 ． (1) 求证：不论 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为 ，且满足 ，求 的值． B 组 1．已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ． (1) 请您求出求 的取值范围； (2) 是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请您说明理由． 2．已知关于 的方程 的两个实数根的平方和等于11． 求证：关于 的方程 有实数根． 第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案 A组 1． 2． 3． 4． 3 5． 9或 6． 7． B组 1． (2) 不存在 2． (1)当 时，方程为 ，有实根；(2) 当 时， 也有实根． $$