教材之外阅读材料：直角三角形的折叠公式

第4/4页 四川省华蓥中学·叶超·2026年1月 四川省华蓥中学·叶超·2026年1月 第1/4页 内容提要： 一、折叠公式 二、公式推导 三、典例精析 四、巩固练习 五、勾股定理的一种新证法 直角三角形 的 折叠公式 一、折叠公式 ( A C B a b C ˊ H a b h a ) 直角三角形的折叠公式： 将直角边长分别为a、b的直角三角形沿斜边折叠，则： 折叠后的直角顶点到原直角三角形长度为a的直角边的距离 到原直角三角形长度为b的直角边的距离hb=____________。 二、公式推导 直角三角形的折叠问题 属于 确定思维。 定性分析：将一确定的直角△沿斜边折叠，折叠后的直角顶点相对于原直角△的位置是确定的。 ( A C B a b C ˊ H G a b h a )定量计算：先用勾股定理计算斜边，再用殊途同归计算折叠前、后两直角顶点间的距离的一半，再次运用勾股定理与殊途同归即可得解。具体地： 如图，将Rt△ABC沿斜边AB折叠，直角顶点C落在Cˊ处， BC=a，AC=b。连接CCˊ交AB于G，则AB垂直平分CCˊ。 由勾股定理得：AB= 对△ABC用殊途同归得：ab=·GC 解得 由勾股定理得： 对△BCCˊ用殊途同归得：GB·CCˊ=BC·CˊH，即，故 初三下册学了相似后：还可根据△CCˊH与原直角三角形相似及CCˊ求ha与hb。 或者用（相似型）垂线段模型列方程组求解：过A作AD⊥HCˊ于D ，消元可解得， 三、典例精析 ( A E D C B ) 例1：如图，BC=5，AC=12，AB=13，点D与点C关于AB对称，过D作DE⊥CB交CB的延长线于E，则BE=__________。 析：由折叠公式得：，故 ( A G F E D C B H )例2：（重庆•2025•第9题）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G，∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（ ） A． B． C． D． 析：H是△DAG的内心，故H到△DAG三边的距离相等，HA、HG、HD将△DAG分成的三个小三角形的面积之比等于三边之比，只要求得AG，即可求得DG与△DAG的面积，问题即可得解。 ( M K N A G F E D C B )求AG：过F作MN⊥BC于M，交AD于N，过F作FK⊥CD于K。 由折叠公式得：， 故， 求△DGH的面积： ( A G F E D C B H α α α α β β T x x y ) 选A。 说明：①由于本题具有特殊性（E是BC的中点），故还有特殊解法：连接GE，由HL得△BGE≌△FGE，设BG=FG=x，在△DAG得(2—x)2+22=(2+x)2，亦可求得AG。 ( A B C D E G )②延长EF交AB于T，由HL可得DT平分∠ADG，故D、T、H共线。设TF=TA=y，在△BET得(2—y)2+12=(1+y)2，解出y后可知AD=3AT。可以熟悉：勾3股4弦5的直角三角形（图中的△DAG）两个锐角（约53°，37°）的半角（图中的α与β），其正切值分别为1/2和1/3。 ( A B C D E G N H )例3：如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点G处，连接CG，则CG=__________。 析1：过G作GN⊥BC于N，作GH⊥AB于H。 ， ( A B C D E G 1 N M 1 x y )析2：（用（相似型）垂线段模型列方程组） 将互相垂直的线段GA、GE投影在过G的直线上： 过G作CD的平行线交AD、BC于M、N。 设GN=x，则AM=2x。设EN=y，则MG=2y。 解得： （学了二次方程后也可用x2+y2=12列方程） ( A B C D E G K 1 1 1 ) 析3：（利用特殊性：EB=EG=EC） AE===3 连接GB交AE于K，易知△GCB是直角三角形。 对△ABE用殊途同归得：2×1=3·KB ∴ 说明：常见的折叠问题往往具有特殊性，利用其特殊性可能更易求解。 四、巩固练习 ( A D C B ) 1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB， 则CD=__________。 方法1：利用“勾3股4弦5的直角三角中，大锐角的半角……”； 方法2：角平分线第二定理； ( A F E D C B )方法3：角平分线第一定理及方程（过D作DH⊥AB于H）。 2．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿 直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处。若AE=5，BF=3， 则△CDF的面积为__________。 ( A E D C B ) 3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=15，点D与点C关于 AB对称，过D作DE⊥CB交CB的延长线于E，则BE=_______。 ( A M H G F E D C B ) 4．（特殊的折叠问题）如图，将正方形ABCD折叠，顶点B落在边 AD上的点E处，顶点C落在点F处，折痕交AB于点G，交CD 于点H，边BC折叠后与边CD交于点M。求证：EM=AE+CM。 提示：BE平分∠AEM。（可直接由折叠得到，或者，延长EF交 BC的延长线于N，由NE=NB联想到） ( A M H G F E D C B 1 K )参考答案： 1．3 2．54 3．4 4．由折叠知∠1=∠EBC=∠AEB，过B作BK⊥EM于K，则BK=BA=BC， AE=KE，连接BM，由HL知△BCM≌△BKM。 五、勾股定理的一种新证法 勾股定理：Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=a，CA=b，AB=c，则a2+b2=c2。 ( A F E kc c B D kc c kb C a b ka ) 证明：延长CB至D，使CD=c，过D作DE⊥CD，过B作BE⊥AB， 过A作AF⊥DE交DE的延长线于F，连接AE。 易知△BED∽△ABC，设DE=ka，BD=kb，BE=kc。 由HL知△ABE≌△AFE，故FE=BE=kc。 由c=a+kb得 由b=kc+ka得 消去k即得b2=c2—a2。得证。 学科网（北京）股份有限公司 $