压轴大题突破练02 直线与圆锥曲线（2）-【步步高】2019大二轮高考22题逐题特训-理科数学（通用版）

(二)直线与圆锥曲线(2) 1．(2018·洛阳模拟)已知抛物线C：y＝－x2，点A，B在抛物线上，且横坐标分别为－，抛物线C上的点P在A，B之间(不包括点A，点B)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.， (1)求直线AP的斜率k的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值． 解　(1)由题意可知A，，B 设P(xP，－x，<xP<)，－ 所以k＝∈(－1,1)， ＝－xP＋ 故直线AP的斜率k的取值范围是(－1,1)． (2)直线AP：y＝kx＋，k－ 直线BQ：x＋ky＋＝0，[来源:学#科#网Z#X#X#K]k－ 联立可知， 点Q的横坐标为xQ＝， |PQ|＝(xQ－xP) ＝ ＝， |PA|＝(1－k)，＝ 所以|PA|·|PQ|＝(1－k)3(1＋k)， 令f(x)＝(1－x)3(1＋x)，－1<x<1， 则f′(x)＝(1－x)2(－2－4x)＝－2(1－x)2(2x＋1)， 当－1<x<－时，f′(x)>0， 当－<x<1时，f′(x)<0， 故f(x)在上单调递减． 上单调递增，在 故f(x)max＝f，[来源:学科网]＝ 即|PA|·|PQ|的最大值为. 2．(2018·葫芦岛模拟)已知椭圆C：，圆O：x2＋y2＝c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，△A1AB面积的最大值为2.＝1(a>b>0)的焦距为2c，离心率为＋ (1)求椭圆C及圆O的方程； (2)若l为圆O的任意一条切线，l与椭圆C交于两点P，Q，求|PQ|的取值范围． 解　(1)设B点到x轴距离为h， 则 ＝ ＝2··|A1O|·h＝a·h， 易知当线段AB在y轴时， hmax＝|BO|＝c，∴ ＝a·c＝2， ∵e＝，＝ ∴a＝2c，∴a＝2，c＝1，b＝， ∴椭圆C的方程为＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1.＋ (2)①当直线l的斜率不存在时，求得|PQ|＝3； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m， ∵直线为圆的切线， ∴d＝＝1， ∴m2＝k2＋1， 联立 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，[来源:学科网ZXXK][来源:Z&xx&k.Com] 判别式Δ＝48(3k2＋2)>0， 由根与系数的关系得 ∴弦长|PQ|＝|x1－x2| ＝， 令t＝4k2＋3≥3， 则|PQ|＝.∈· 综上，|PQ|∈. 3．(2018·江西省重点中学协作体联考)已知椭圆C：＝15.·，短轴为MN，点P(4,0)满足＝1(a>b>0)的离心率为＋ (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，过点P的动直线l与椭圆交于点A，B，是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． ·＋λ· 解　(1)＝(－4，b)·(－4，－b)＝16－b2＝15，· 所以b＝1， 又，所以a2＝4，＝＝ 从而椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)当l不为x轴时， 设l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立l与C的方程可得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0， 所以y1＋y2＝－，，y1y2＝ ＝x1x2＋y1y2＋λ[(x1－4)(x2－4)＋y1y2]·＋λ· ＝(1＋λ)(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16 ＝＋16. 因为为定值，·＋λ· 所以，＝ 解得λ＝.，此时定值为 当l为x轴时，A(－2,0)，B(2,0)． .·12＝＝－4＋·＋λ· 综上，存在λ＝.为定值·＋λ·，使得 4．(2018·宿州质检)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝.，以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过点P(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在直线l0：x＝x0(x0>2)，使得A，B到直线l0的距离dA，dB满足恒成立，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由． ＝ 解　(1)设椭圆C的标准方程为＝1(a>b>0)，＋ ∵a，，∴c＝＝ 又∵4，＝4 ∴a2＋b2＝5，由b2＝a2－c2＝a2， 解得a＝2，b＝1，c＝. ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)若直线l的斜率不存在， 则直线l0为任意的x＝x0(x0>2)都满足要求； 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨令x1>1>x2)， 则dA＝x0－x1，dB＝x0－x2， |PA|＝(1－x2)，(x1－1)，|PB|＝ ∵，＝ ∴， ＝＝ 解得x0＝. 由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0， x1＋x2＝，，x1x2＝ x0＝＝4. 综上可知，存在直线l0：x＝4，使得A，B到直线l0的距离dA，dB满足恒成立．＝ 5．(2018·四省大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知