中档大题规范练01 三角函数与解三角形-【步步高】2019大二轮高考22题逐题特训-理科数学（通用版）

(一)三角函数与解三角形 1．已知函数f(x)＝sin x·(cos x＋sin x)． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围． 解　(1)f(x)＝sin xcos x＋sin2x ＝(1－cos 2x) sin 2x＋ ＝cos 2x＋sin 2x－ ＝sin.＋ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因为x∈， 所以2x－.∈ 令u＝2x－， 因为y＝sin u在上是增函数， 在上是减函数， 令u＝2x－，，则x＝＝ 所以f(x)在上是增函数， 在上是减函数．[来源:学|科|网] 由题意知，关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不同的交点，[来源:Z。xx。k.Com]内有两个不相等的实数解，等价于y＝f(x)与y＝t的图象在区间 又因为f(0)＝0，f，＝，f＝1＋ 所以，≤t<1＋ 即t的取值范围是. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝－.，c＝，b＝ (1)求a； (2)求cos(B－A)的值． 解　(1)在△ABC中，由余弦定理得， a2＝b2＋c2－2bccos A ＝2＋5－2×＝9，×× ∴a＝3(舍负)． (2)在△ABC中，由cos A＝－，，得A∈ ∴sin A＝.＝＝ 在△ABC中，由正弦定理得，＝ 即，，∴sin B＝＝ 又A∈，，故B∈ ∴cos B＝.＝＝ ∴cos(B－A)＝cos Bcos A＋sin Bsin A ＝.＝×＋× 3．(2018·河北省衡水中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B－cos2C＝sin2A－sin A·sin B. (1)求角C； (2)若A＝，M为AB的中点，求CM的长． ，△ABC的面积为4 解　(1)由cos2B－cos2C＝sin2A－sin Asin B， 得sin2C－sin2B＝sin2A－sin Asin B. 由正弦定理，得c2－b2＝a2－ab， 即a2＋b2－c2＝ab. 又由余弦定理，得cos C＝.＝＝ 因为0<C<π，所以C＝. (2)因为A＝C＝，[来源:学|科|网] 所以△ABC为等腰三角形，且顶角B＝. 故S△ABC＝，所以a＝4(舍负)． a2＝4a2sin B＝ 在△MBC中，由余弦定理，得 CM2＝MB2＋BC2－2MB·BCcos B ＝4＋16＋2×2×4×＝28， 解得CM＝2. 4．(2018·重庆市綦江区调研)已知a＝(2cos x,2sin x)，b＝，函数f(x)＝cos〈a，b〉． (1)求函数f(x)的零点；[来源:学科网] (2)若锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(A)＝1，求的取值范围． 解　(1)由条件可知，a·b＝2cos x·sin，＝2sin＋2sin x·cos ∴f(x)＝cos〈a，b〉＝＝ ＝sin. 由2x－，k∈Z，＋＝kπ，k∈Z，解得x＝ 即函数f(x)的零点为x＝，k∈Z.＋ (2)由正弦定理得，＝ 由(1)知，f(x)＝sin， 又f(A)＝1，得sin＝1， ∴2A－，k∈Z，＝2kπ＋ 又A∈(0，π)，得A＝， ∵A＋B＋C＝π，∴C＝－B，代入上式化简得， ＝ ＝ ＝ ＝2sin. 又在锐角△ABC中，有0<B<， 0<C＝，－B< ∴，<<B＋，∴<B< 则有≤1，[来源:Zxxk.Com]<sin 即≤2.< 5．(2018·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C. (1)若cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B，求sin A＋sin B的值； (2)若c＝2，求△ABC面积的最大值． 解　(1)∵cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B， ∴1－sin2A ＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B， ∴sin2A ＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B， ∴由正弦定理，得a2＋b2－c2＝－ab， ∴由余弦定理，得cos C＝，＝－ 又0<C<π， ∴C＝， ∴sin A＋sin B＝.＝sin sin C＝ (2)当c＝2，a＋b＝，c＝2 ∴cos C＝－1，＝＝ ∴sin C＝＝ ＝ ， ∴S＝ababsin C＝ ＝. ∵a＋b＝2，≥2 即0<ab≤3，当且仅当a＝b＝时等号成立， ∴S＝，＝≤ ∴△ABC面积的最大值为. $$