中档大题规范练02 数列-【步步高】2019大二轮高考22题逐题特训-理科数学（通用版）

(二)数　列 1．(2018·三明质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn. 解　(1)因为a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2， 所以(t＋1)S1＝a＋3a1＋2，所以t＝5. 所以6Sn＝a＋3an＋2.① 当n≥2时，有6Sn－1＝a＋3an－1＋2，② ①－②得6an＝a－3an－1，＋3an－a 所以(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0， 因为an>0，所以an－an－1＝3， 又因为a1＝1， 所以{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列， 所以an＝3n－2(n∈N*)． (2)因为bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1， 所以bn－bn－1＝an(n≥2，n∈N*)， 所以当n≥2时， bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1[来源:Zxxk.Com] ＝an＋an－1＋…＋a2＋b1＝. 又b1＝1也适合上式，所以bn＝(n∈N*)． 所以＝ ＝，·＝· 所以Tn＝· ＝，· ＝. 2．(2018·葫芦岛模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3，，S4成等差数列，a5＝3a2＋2a1－2. (1)求数列{an}的通项公式；[来源:学科网ZXXK] (2)设bn＝2n－1，求数列的前n项和Tn. 解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由S3，，S4成等差数列， 可知S3＋S4＝S5，得2a1－d＝0，① 由a5＝3a2＋2a1－2，② 得4a1－d－2＝0， 由①②，解得a1＝1，d＝2， 因此，an＝2n－1(n∈N*)． (2)令cn＝n－1，＝(2n－1) 则Tn＝c1＋c2＋…＋cn， ∴Tn＝1·1＋3·n－1，③2＋…＋(2n－1)·＋5· n，④3＋…＋(2n－1)·2＋5·＋3·Tn＝1· ③－④，得n－(2n－1)·Tn＝1＋2 ＝1＋2，n＝ 3－ －(2n－1)· ∴Tn＝6－(n∈N*)． 3．(2018·厦门质检)已知等差数列{an}满足(n＋1)an＝2n2＋n＋k，k∈R. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)方法一　由(n＋1)an＝2n2＋n＋k， 令n＝1,2,3， 得到a1＝，，a3＝，a2＝ ∵{an}是等差数列，∴2a2＝a1＋a3， 即，＋＝ 解得k＝－1. 由于(n＋1)an＝2n2＋n－1＝(2n－1)(n＋1)， 又∵n＋1≠0，∴an＝2n－1(n∈N*)． 方法二　∵{an}是等差数列，设公差为d， 则an＝a1＋d(n－1)＝dn＋(a1－d)， ∴(n＋1)an＝(n＋1)(dn＋a1－d) ＝dn2＋a1n＋a1－d， ∴dn2＋a1n＋a1－d＝2n2＋n＋k对于∀n∈N*均成立， 则解得k＝－1，∴an＝2n－1(n∈N*)．[来源:学科网ZXXK] (2)由bn＝＝ ＝＝1＋ ＝1＋＋1，＝ 得Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝＋1＋1＋…＋＋1＋＋1＋ ＝＋n ＝＋n ＝(n∈N*)．＋n＝ 4．(2018·天津河东区模拟)已知等比数列{an}满足条件a2＋a4＝3(a1＋a3)，a2n＝3a，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足＝n2，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.＋…＋＋ 解　(1)设{an}的通项公式为an＝a1qn－1(n∈N*)， 由已知a2＋a4＝3(a1＋a3)， 得a1q＋a1q3＝3(a1＋a1q2)，所以q＝3.[来源:Zxxk.Com] 又由已知a2n＝3a， 得a1q2n－1＝3aq2n－2，所以q＝3a1， 所以a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝3n－1(n∈N*)． (2)当n＝1时，＝1，b1＝1， 当n≥2时，＝n2，①＋…＋＋ 所以＝(n－1)2，②＋…＋＋ 由①－②得＝2n－1， 所以bn＝(2n－1)3n－1，b1＝1也符合， 综上，bn＝(2n－1)3n－1(n∈N*)． 所以Tn＝1×30＋3×31＋…＋(2n－3)3n－2＋(2n－1)·3n－1，① 3Tn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)3n－1＋(2n－1)3n，② 由①－②得 －2Tn＝1×30＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n[来源:学*科*网] ＝1×30＋2×3×－(2n－1)·3n ＝1＋3n－3－(2n－1)3n＝(2－2n)3n－2， 所以Tn＝1＋(n－1)3n(n∈N*)． 5．(2018·宿州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为T