2019年人教版高中数学必修二：能力深化提升 第二章点、直线、平面之间的位置关系

能力深化提升 类型一　共点、共线、共面问题 【典例1】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点. 求证:(1)E，C，D1，F四点共面. (2)CE，D1F，DA三线共点. 【证明】(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B， 因为E，F分别是AB和AA1的中点， 所以FE∥A1B且EF=A1B. 因为A1D1∥BC，A1D1=BC 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥D1C，所以FE∥D1C， 所以EF与CD1可确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面. (2)由(1)知EF∥CD1，且EF=CD1， 所以四边形CD1FE是梯形， 所以直线CE与D1F必相交，设交点为P， 则P∈CE⊂平面ABCD， 且P∈D1F⊂平面A1ADD1， 所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1. 又平面ABCD∩平面A1ADD1=AD， 所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线共点. 【方法总结】点共线、线共点、点或线共面问题的常用证明方法 (1)证明点共线:①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上; ②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上. (2)证明空间的点、线共面问题:①根据已知条件先由其中部分点或直线确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内;②分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合. (3)证明线共点:就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点.其一般方法是，先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上. 【巩固训练】 　已知，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证: (1)D，B，E，F四点共面. (2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线. 【证明】(1)连接B1D1.因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD， 所以EF∥BD，所以EF与BD共面， 所以E，F，B，D四点共面. (2)因为AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA1C1C∩ 平面BDEF， 因为A1C∩平面DBFE=R， 所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF， 所以P，Q，R三点共线