山西省大同市第一中学2018-2019学年高二3月月考数学（理）试题（图片版）

高二数学(理) (第 1 页 共 3 页) 高二年级 3 月阶段性考试 数学(理) 答案 一、选择题 1．B 2.A 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A 8.C 9.D 10.B 11.A 12.C 二、填空题 13. 4 5 14. 15. 16. 三．解答题 17．解：(1)因为 f′(x)＝x－ a x(x>0)， 且 f(x)在 x＝2 处的切线方程为 y＝x＋b， 所以   2－aln 2＝2＋b， 2－ a 2＝1， 解得 a＝2，b＝－2ln 2. (2)若函数 f(x)在(1，＋∞)上为增函数，则 f′(x)＝x－ a x≥0 在(1，＋∞)上恒成立，即 a≤x 2在(1，＋∞) 上恒成立．所以 a≤1. 18.【答案】（1） ；（2）最大值为 1，最小值为 . 试题解析：（1）因为 ，所以 ， . 又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 . （2）设 ，则 . 当 时， ，所以 在区间 上单调递减. 所以对任意 ，有 ，即 . 所以函数 在区间 上单调递减. 高二数学(理) (第 2 页 共 3 页) 因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 . 19. 【答案】（1） ；（2） 详解： ， （1）∵ 在 处取得极值， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，令 ，则 ， ∴ ， ∴函数 的单调递减区间为 . （2）∵ 在 内有极大值和极小值， ∴ 在 内有两不等实根，对称轴 ， ∴ ， ， ∴ . 20. 解：(1)证明：f′(x)＝ex＋e－x，由基本不等式得 ex＋e－x≥2 ex·e－x＝2， 故 f′(x)≥2，当且仅当 x＝0 时等号成立． (2)令 g(x)＝f(x)－ax＝ex－e－x－ax(x≥0)， 则 g(0)＝0，g′(x)＝ex＋e－x－a. 若对∀x≥0，都有 g(x)≥0，则需 g′(0)＝2－a≥0，得 a≤2(a≤2 是 g(x)≥0(x≥0)恒成立的必要条 件)． 当 a≤2 时，g′(x)＝ex＋e－x－a≥2－a≥0，因此函数 g(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，故 g(x)≥g(0) ＝0(x≥0)恒成立． 所以 a的取值范围是(－∞，2]． 高二数学(理) (第 3 页 共 3 页) 21. 解：（1）证明：如图所示，由射影定理可知， AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC， 所以 1 AD2＝ 1 BD·DC＝ BC2 BD·BC·DC·BC＝ BC2 AB2·AC2. 又 BC2＝AB2＋AC2， 所以 1 AD2＝ AB2＋AC2 AB2·AC2 ＝ 1 AB2＋ 1 AC2. （2）猜想：在四面体 ABCD中，若 AB，AC，AD两两垂直，且 AE⊥平面 BCD于 E， 则 1 AE2＝ 1 AB2＋ 1 AC2＋ 1 AD2. 证明：如图所示，连接 BE并延长交 CD于 F，连接 AF. 因为 AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A， 所以 AB⊥平面 ACD. 又 AF⊂平面 ACD， 所以 AB⊥AF. 在 Rt△ABF中，AE⊥BF， 所以 1 AE2＝ 1 AB2＋ 1 AF2. 在 Rt△ACD中，AF⊥CD， 所以 1 AF2＝ 1 AC2＋ 1 AD2. 所以 1 AE2＝ 1 AB2＋ 1 AC2＋ 1 AD2，故猜想正确. $$ $$