2018-2019学年七年级五四制鲁教版数学下册课件+练习：10.5　角平分线 (2份打包)

5　角平分线　 (参考用时:30分钟) 1.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD.下列结论不正确的是(　B　) (A)∠BAC=70° (B)∠DOC=90° (C)∠BDC=35° (D)∠DAC=55° 2. (2018常德改编)如图,已知BD是△ABC的角平分线,ED是BC的垂直平分线,∠BAC=90°,AD=1,则CE的长为(　D　) (A)5 (B)3 (C)2 (D) 3. 如图,已知点P是∠AOB平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中点,DM=4,如果点C是OB上一个动点,则PC的最小值为(　C　) (A)2 (B)2 (C)4 (D)4 4. (2018德州)如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为　3　.  5.(2018青岛)请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹. 已知:如图,∠ABC,射线BC上一点D. 求作:等腰△PBD,使线段BD为等腰△PBD的底边,点P在∠ABC内部,且点P到∠ABC两边的距离相等. 解:如图所示,等腰△PBD即为所求作. 6. 已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG. 求证:OC是∠AOB的平分线. 证明:在Rt△PFD和Rt△PGE中, PF=PG,DF=EG, 所以Rt△PFD≌Rt△PGE(HL), 所以PD=PE. 因为P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 所以OC是∠AOB的平分线. 7. 已知,如图,在四边形ABCD中,OA,OB,OC,OD分别是∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠ADC的平分线,求证:AB+CD=AD+BC. 证明:过O分别作OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥AD, 则∠AEO=∠AHO=90°. 因为OA平分∠BAD, 所以OE=OH. 在△OAE和△OAH中, OE=OH,OA=OA, 所以Rt△OAE≌Rt△OAH,所以AE=AH. 同理可得BE=BF,CF=CG,DG=DH, 所以AB+CD=AE+BE+DG+CG=AH+DH+BF+CF=AD+BC. 8.(拓展探究题)如图(1),在△ABC中,若AD是∠BAC的平分线,过D点分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE=DF. 探究发现: 如图(2),在△ABC中,仍然有条件“AD是∠BAC的平分线,点E,F分别在AB和AC上”.若∠AED+∠AFD=180°,则DE与DF是否仍相等?若相等,请证明之;若不相等请举反例说明. 解:DE=DF. 理由如下:如图,过点D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N. 因为AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC, 所以DM=DN. 因为∠AED+∠AFD=180°, ∠AFD+∠DFN=180°, 所以∠DFN=∠AED. 在△DME与△DNF中,因为∠DME=∠DNF, ∠DFN=∠AED,DM=DN, 所以△DME≌△DNF(AAS). 所以DE=DF. $$5　角平分线　 一、角平分线的性质 　角平分线上的点到这个角的两边的距离　 　.  二、角平分线的判定 　在一个角的内部,并且到角的两边距离　 　的点,在这个角的平分线上.  三、三角形的三条角平分线 　三角形的三条角平分线相交于　 　,并且这一点到三条边的距离 　 　.  相等 相等 一点 相等 知识点一　角平分线的性质 【例1】如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,求点P到BC的距离. 解: 过点P作PE⊥BC于E,因为AB∥CD,PA⊥AB,所以PD⊥CD,因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,所以PA= PE,PD=PE,所以PE=PA=PD,因为PA+PD=AD=8,所以PA=PD=4,所以PE=4. 由已知条件中的角平分线联想到它的性质,通过作辅助线构造全等三角形,证明所需的角或线段相等,进而开通思路,是我们常用的重要证明方式之一,应牢固掌握. a+b=0 【变式】 (2017济宁)如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧, 两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(a,b),则a与b的数量关系为　 　.  知识点二　角平分线的判定 【例2】如图,点B,C分别在∠MAN的两边上,BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE相交于点F,且BF=CF. 求证:点F在∠MAN的平分