10.5.2 角平分线（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

鲁教版七年级下册数学 第十章 三角形的有关证明 5.2 角平分线 1 学习目标 1．会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.(重点） 2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．(难点） 2 情境&导入 角平分线的性质与判定的内容是什么？ 定理　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理　在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 情境&导入 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 结论：三角形的三条角平分线相交于一点. 情境&导入 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 结论：过交点作三角形三边的垂线段相等. 你能证明以上两个结论吗？ 角平分线的性质 探索&交流 例1.求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. A B C P E F M D N 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：∠A 的平分线经过点 P，且 PD=PE=PF. 6 探索&交流 ∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即∠A 的平分线经过点 P. 证明：BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足为 D，E， ∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). A B C P E F M D N 7 探索&交流 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 8 探索&交流 典例精析 例2.如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD. A C B E D 9 探索&交流 ∵AC = BC，∴∠B = ∠BAC（等边对等角）. ∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°. ∴∠BDE=90°– 45°= 45° ∴BE = DE（等角对等边）. 1 2 在等腰直角三角形 BDE 中， cm（勾股定理）， ∴AC = BC = CD + BD =（4+ ）cm. （1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E， ∴DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. A C B E D 10 探索&交流 （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL） ∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）. ∵BE = DE = CD， ∴AB = AE + BE = AC + CD. A C B E D 11 探索&交流 典例精析 例2.如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. (1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长； E D A B C 解：∵ AD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，垂足为 E， ∴ DE = CD = 4 cm. ∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC. ∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. 在等腰 Rt△BDE 中， 12 探索&交流 (2) 求证：AB＝AC＋CD. 证明：由 (1) 的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED (HL). ∴ AC＝AE. ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD. E D A B C 13 探索&交流 典例精析 例3.已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C，D. 求证：（1）OC = OD； （2）OP 是 CD 的垂直平分线. O C D B P A 14 探索&交流 证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC = PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中， OP = OP，PC = PD， ∴Rt△OPC≌ Rt△OPD（HL）. ∴OC = OD（全等三角形对应边相等）. O C D B P A 15 探索&交流 （2）∵ OP 是∠AOB 的角平分线，OC=OD， ∴OP 是 CD 的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）. O C D B P A 16 随堂练习 练习&巩固 1.如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的是 ( ) A. P 为∠A，∠B 两角平分线的交点 B. P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点 C. P 为 AC，AB 两边上的高的交点 D. P 为 AC，AB 两边的垂直平分线的交点 B 17 练习&巩固 2.已知： OE 平分∠AOB，P 为 OE 上一点，PC⊥OA 于 C，且 PC = 5，则 P 点到 OB 的距离为_____. 5 A O E B P C 18 练习&巩固 3.如图，在△ ABC 中，点 O 是∠ ABC，∠ ACB的平分线的交点， AB+BC+AC=20. 过 O 作 OD ⊥ BC 于点 D，且 OD=3，求△ ABC 的面积 . 练习&巩固 解：如图，过点O作 OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点 F，连接 OA. ∵点 O 是∠ ABC 的平分线与∠ ACB 的平分线的交点， ∴ OE=OF=OD=3. ∴ S △ ABC=S △ ABO+S △ BCO+S △ ACO =AB·OE+ BC·OD+ AC·OF =× 3×(AB+BC+AC) =×3×20=30. 20 课堂总结 　　三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等． 21 $$