专题06 导数中的隐零点问题-2019年高考数学二轮复习之重难点微专题突破训练

专题06 导数中的隐零点问题 类型一、不含参函数的隐零点问题 已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则①有关系式成立，②注意确定的合适范围. 例: 已知函数的导函数为，且. （1）求函数的极值.[来源:学科网] （2）若，且对任意的都成立，求的最大值.[来源:Z+xx+k.Com] [来源:学科网ZXXK] 【掌握练习】 1、已知函数. （1）讨论的最值； （2）若，求证：.. 2、已知函数. （1）求的极值点； （2）证明：.[来源:学|科|网Z|X|X|K] 类型二、含参函数的隐零点问题[来源:Zxxk.Com] 已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则①有关系式成立，该关系式给出了的关系，②注意确定的合适范围，往往和的范围有关. 例：已知函数. （1）若,求函数的单调区间; （2）若,对恒成立,求的取值范围. 【掌握练习】 1、已知函数． （1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值； （2）当时，证明：. 2、（1）求证：； （2）已知函数， ①讨论的极值点的个数，并说明理由； ②，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 类型一、不含参函数的隐零点问题 已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则①有关系式成立，②注意确定的合适范围. 例: 已知函数的导函数为，且. （1）求函数的极值. （2）若，且对任意的都成立，求的最大值. 【答案】 （1）见解析 （2） （2）由（1）及题意知，对任意的都成立.令，则.令，则，所以函数在上为增函数，因为，，所以方程存在唯一实根，且，.故当时，，即；当时，，即.所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，，又，故的最大值为. 【掌握练习】 1、已知函数. （1）讨论的最值； （2）若，求证：.. 【答案】[来源:学#科#网Z#X#X#K] （1）见解析 （2）略 【解析】 （1）依题意，得.①当时，，所以在上单调递减，故不存在最大值和最小值； ②当时，由得，.当变化时，与的变化情况如下表 （2）当，，设，则，设，由，可知在上单调递增.因为，，所以存在唯一的，使得.当变化时，与的变化情况如下表： 由上表可知，在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得极小值，也是最小值，即.由可得，所以.又，所以，所以，即，所以不等式成立.[来源:Zxxk.Com] 2、已知函数. （1）求的极值点； （2）证明：. 【答案】 （1）极小值点，不存在极大值点； （2）见解析. （2）设，则，设，则方程在区间内恰有一个实根.设方程在区间内的实根为，即.所以，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增.所以由在上是减函数知，，故.综上.` 类型二、含参函数的隐零点问题 已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则①有关系式成立，该关系式给出了的关系，②注意确定的合适范围，往往和的范围有关. 例：已知函数. （1）若,求函数的单调区间; （2）若,对恒成立,求的取值范围. 【答案】 （1） （2）. 【解析】 （1）函数的定义域为. [来源:学科网ZXXK] 即方程有个不相等的实数根,设为,, 由根与系数的关系可得,, 即,,故时,, 此时在上单调递增;[来源:学科网ZXXK] 当时,, 即方程有个不相等的实数根,设为,,且, 则,, 由根与系数的关系,可得,,即, 当或时,,单调递增, 当时,,单调递减. 综上,当时,的单调递增区间为,无单调递减区间; 当时,的单调递增区间为,, 单调递减区间为. 当时,,即, 故在上单调递增, ∴, 又, ∴, 依题意,即, 令, 易知在上单调递增, 且,故, 又,即, 易知在上单调递减, ∴. 【掌握练习】 1、已知函数． （1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值； （2）当时，证明：. 【答案】 （1）；（2）证明见解析. 当时，． 要证，只需证明  设，则. 设，则． 所以函数在上单调递增． 因为，， 所以函数在上有唯一零点，且 因为，所以，即. 当时，；当时，， 所以当时，取得最小值. 所以. 综上可知，当时，.  2、（1）求证：； （2）已知函数，[来源:学§科§网] ①讨论的极值点的个数，并说明理由； ②，求证：. 【答案】见解析 当时，取得到，令，则 ∴有唯一解，取为， 且在，，在，， 是的极小值点. ②由①即证，即， 即，由（1）知. 即证，即 令，. ∴. ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$