2019高考数学（江苏）二轮专题攻略（课件+习题）：专题三 立体几何 (共7份打包)

微专题5 立体几何中体积的求解策略 栏目索引 高考导航 自主训练 微专题5　立体几何中体积的求解策略     题型一　等积转换法求体积 例1    (2017江苏楚州中学月考) 如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.求三棱锥 的体积.   栏目索引 高考导航 自主训练 解析　由题意得EF= BD1= ,B1F= = = ,B1E=  = =3. ∴EF2+B1F2=B1E2,∴∠EFB1=90°. 又易知CF⊥平面EFB1, ∴ = = · ·CF = × ·EF·B1F·CF= × × × × =1. 栏目索引 高考导航 自主训练 【方法归纳】    ①所谓等积法就是利用转化思想,把要求的几何体体积转化 为另一个同体积几何体来求. ②变化观察角度是计算体积常用的转化策略之一.变换的基本依据是变化前 后等体积,变换的标准是看相应的底面和高是否容易求解. 栏目索引 高考导航 自主训练 1-1    (2018南京师大附中高三模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均 为2,D为棱B1C1上任意一点,则三棱锥D-A1BC的体积是　　　    .   答案      解析　三棱锥D-A1BC的体积 = = × ×2×2× = . 栏目索引 高考导航 自主训练 1-2　如图,已知多面体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E,F分别是棱AA1 和CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积.   解析　∵EB=BF=FD1=D1E= = a, ∴四棱锥A1-EBFD1的底面EBFD1是菱形. 连接EF,则△EFB≌△EFD1, 栏目索引 高考导航 自主训练 ∵三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1等底同高, ∴它们的体积相等. ∵CC1∥平面ABB1A1,∴三棱锥F-EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距离,即 为棱长a. 又△EBA1的边A1E上的高是BA=a, ∴三棱锥A1-EFB的体积等于三棱锥F-EBA1的体积= × · ·a·a= a3. ∴四棱锥A1-EBFD1的体积=2× a3= a3. 栏目索引 高考导航 自主训练 题型二　割补法求体积 例2　已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,且长度分别为 3、4、5,求该三棱锥外接球的表面积和体积. 栏目索引 高考导航 自主训练 解析　将三条侧棱PA、PB、PC两两垂直的三棱锥P-ABC补成一个长方体, 两两垂直的三侧棱就是长方体的长、宽、高,则该长方体的体对角线就是三 棱锥P-ABC的外接球的直径,设其长为2R,则2R= =5 ,所以三棱锥 P-ABC的外接球的表面积为4πR2=π(2R)2=π(5 )2=50π,体积为 πR3= π·  = π. 栏目索引 高考导航 自主训练 【方法归纳】    ①割补法是求体积、表面积、距离的基本方法,常常将一个 不太容易求体积的几何体转化为易求的规则几何体求解,是一种常用的技巧. ②在解题中遇到三侧棱两两垂直的三棱锥,通常将它补成长方体,便于解决问 题.特别地,若三棱锥的三侧棱两两垂直且相等,则可将它补成正方体. 栏目索引 高考导航 自主训练 2-1　在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE, △BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为　　　    .   栏目索引 高考导航 自主训练 答案      解析　如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,容易求得 EG=HF= ,AG=GD=BH=HC= ,且EG⊥平面ADG,FH⊥平面BHC, ∴S△ADG=S△BHC= × ×1= , ∴VABCDEF=VE-ADG+VF-BHC+VADG-BCH=2VE-ADG+VADG-BCH = × × ×2+ ×1= . 栏目索引 高考导航 自主训练 2-2　如图,已知三棱锥P-ABC中,棱AC的长为6,其余各棱长均为5,求该三棱锥 的体积.   栏目索引 高考导航 自主训练 解析　取AC的中点D,连接PD,BD,易证得直线AC与平面PBD垂直,则 VP-ABC=VA-PBD+VC-PBD= AD·S△PBD+ CD·S△PBD = (AD+CD)·S△PBD= ×6·S△PBD=2S△PBD. ∵PB=5,且易知BD=PD=4, ∴S△PBD= ×5× = , ∴VP-ABC= . 栏目索引 高考导航 自主训练 题型三　置入法求体积 例3　已知一四面体各面都是边长为13、14、15的全等三角形,求此四面体 的体积. 解析　如图甲,不妨设BC=13,AB=14,AC=15,将图甲中的四面体置入图乙所示 的长方体中. 由此,该四面体的体积就转化成长方体的