2019高考数学（江苏）二轮专题攻略（课件+习题）：专题六 数列 (共11份打包)

微专题13 数列中的探索性问题 栏目索引 高考导航 核心题型突破 微专题13　数列中的探索性问题     题型一　新定义数列的探究型问题 例1    (2018江苏扬州高三模拟) 已知数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,若对任意 的n∈N*,均有Sn=an+k-k(k是常数,且k∈N*)成立,则称数列{an}为“H(k)数列”. (1)若数列{an}为“H(1)数列”,求数列{an}的前n项和Sn; (2)若数列{an}为“H(2)数列”,且a2为整数,试问:是否存在数列{an},使得| -an- 1an+1|≤40对任意n≥2,n∈N*成立?如果存在,求出这样数列{an}的a2的所有可能 值,如果不存在,请说明理由. 核心题型突破 栏目索引 高考导航 核心题型突破 解析　(1)因为数列{an}为“H(1)数列”,所以Sn=an+1-1,故Sn-1=an-1(n≥2),两式 相减得an+1=2an(n≥2), 在Sn=an+1-1中令n=1,则可得a2=2,故a2=2a1. 所以 =2(n∈N*),所以数列{an}为等比数列,所以an=2n-1,所以Sn=2n-1. 核心题型突破 栏目索引 高考导航 核心题型突破 (2)由题意得Sn=an+2-2,故Sn-1=an+1-2(n≥2), 两式相减得an+2=an+1+an(n≥2), 所以,当n≥2时, -anan+2= -an(an+1+an)=an+1(an+1-an)- , 又因为an+1-an=an-1(n≥3), 所以 -anan+2=an+1(an+1-an)- =an+1an-1- , 所以| -anan+2|=| -an+1an-1|(n≥3), 所以当n≥3时,数列{| -an+1an-1|}是常数列, 所以| -an+1an-1|=| -a2a4|(n≥3), 因为a4=a3+a2,所以| -an+1an-1|=| -a2a3- |(n≥3). 核心题型突破 栏目索引 高考导航 核心题型突破 在Sn=an+2-2中令n=1,则可得a3=3,所以|9-3a2- |≤40, 又n=2时| -a1a3|=| -3|≤40,且a2为整数, 所以可解得a2=0,±1,±2,±3,±4,±5,-6. 【方法归纳】    对于新定义数列中的探究性问题,读懂、理解新数列的定义 是重点.一般而言,这类题目考查的难点已在新定义中体现,后续反而不会太 难,但需要具备举一反三的能力,结合原有数列知识去探求出题目所要求的条 件,大胆尝试、总结. 核心题型突破 栏目索引 高考导航 核心题型突破 1-1    (2018泰州中学高三检测)数列{an}对于确定的正整数m,若存在正整数n 使得am+n=am+an成立,则称数列{an}为“m阶可分拆数列”. (1)设{an}是首项为2,公差为2的等差数列,证明{an}为“3阶可分拆数列”; (2)设数列{an}的前n项和为Sn=2n-a(a>0),若数列{an}为“1阶可分拆数列”,求 实数a的值; (3)设an=2n+n2+12,试探求是否存在m使得若数列{an}为“m阶可分拆数列”. 若存在,请求出所有m;若不存在,请说明理由. 核心题型突破 栏目索引 高考导航 核心题型突破 解析　(1)证明:an=2+2(n-1)=2n,a3=6, 则a3+n=2×(3+n)=6+2n=a3+an. ∴{an}为“3阶可分拆数列”. (2)Sn=2n-a(a>0),a1=S1=2-a, n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-a-(2n-1-a)=2n-1. ∵数列{an}为“1阶可分拆数列”, 核心题型突破 栏目索引 高考导航 核心题型突破 ∴an+1=a1+an,∴2n=2-a+2n-1,∴a=2-2n-1. 令n=1时,a=1. (3)假设数列{an}为“m阶可分拆数列”. 则am+n=am+an成立,∴2n+m+(n+m)2+12=2m+m2+12+2n+n2+12, 化为2n+m+2mn=2m+2n+12, ∴(2m-1)(2n-1)+2mn=13. 可得:m=1,n=3;m=2,n不存在;m=3,n=1;m≥4时n不存在. ∴只有两组:m=1,n=3;m=3,n=1. 核心题型突破 栏目索引 高考导航 核心题型突破 题型二　探究数列中是否存在满足条件的项的问题 例2    (2018扬州高三考前调研)已知无穷数列{an}的各项都不为零,其前n项 和为Sn,且满足an·an+1=Sn(n∈N*),数列{bn}满足bn= ,其中t为正整数. (1)求a2 018; (2)若不等式 + <Sn+Sn+1对任意n∈N*都成立,求首项a1的取值范围; (3)若首项a1是正整数,则数列{bn}中的任意一项是否总可以表示为数列{bn}中 的其他