2019高考数学（江苏）二轮专题攻略（课件+习题）：专题二　不等式 (共11份打包)

微专题3 多变量问题的处理 栏目索引 高考导航 自主训练 微专题3　多变量问题的处理     题型一　利用基本不等式实现求解 例1　(1)已知x为正实数,且xy=2x+2,则 + 的最小值为　　    . (2)若a2-ab+b2=1,a,b是实数,则a+b的最大值是　    . 答案　(1)2　(2)2 栏目索引 高考导航 自主训练 解析　(1)由题意可得x(y-2)=2,x>0,y-2>0,所以 + ≥2 =2,当且仅 当 = 时取等号,故 + 的最小值为2. (2)因为a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=1,所以(a+b)2-1=3ab≤ ,即 (a+b)2≤1,所 以-2≤a+b≤2,故a+b的最大值是2. 栏目索引 高考导航 自主训练 【方法归纳】    解决约束条件下的二元最值问题,可将条件与目标函数联系 起来,对条件或目标函数适当变形,若两者之间有和或积的形式,可利用基本 不等式求解. 栏目索引 高考导航 自主训练 1-1　若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则 的最小值为　　    . 答案　4 解析　由log2x+log2y=1得xy=2,又x>y>0,所以  = =(x-y)+ ≥2 =4, 当且仅当x-y=2,即x=1+ ,y= -1时取等号, 所以 的最小值为4. 栏目索引 高考导航 自主训练 1-2　已知实数x,s,t满足8x+9t=s,且x>-s,则 的最小值为　       . 答案　6 解析　由x>-s和8x+9t=s得9x+9t=x+s>0,所以  =  =(x+s)+ =9(x+t)+ ≥6,当且仅当9(x+t)= 时取等号,故它的最小值为 6. 栏目索引 高考导航 自主训练 题型二　利用换元法实现求解 例2　(1)设函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)对任意的x∈R,都有f '(x)≤f(x)成立,若对 满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,则实数M的最小值 为　　　    . (2)已知实数x,y满足 +y2=1,则3x2-2xy的最小值为　　　     . 答案　(1) 　(2)6-2  栏目索引 高考导航 自主训练 解析　(1)函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)对任意的x∈R, 都有f '(x)≤f(x)成立,即x2+(b-2)x+c-b≥0恒成立, 则Δ=(b-2)2-4(c-b)≤0,c≥ +1,则c≥1, 且c≥2 =|b|,当c=|b|时,由c= +1可得c=|b|=2, 此时f(c)-f(b)=-8或0,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立;当c>|b|时,M≥  = = ,令t= ,-1<t<1,则 =2- ∈ -∞,  , 所以M≥ ,M的最小值为 . 栏目索引 高考导航 自主训练 (2)设x=2cos θ,y=sin θ,则3x2-2xy=12cos2θ-4cos θsin θ= 6+6cos 2θ-2sin 2θ=6+2 cos(2θ+φ),其中cos φ= , sin φ= ,当cos(2θ+φ)=-1时,3x2-2xy取得最小值,为6-2 . 【方法归纳】    当条件与目标函数之间不能利用基本不等式时,可以用换元法(代数换元和三角换元)将多变量函数的最值问题转化为单变量函数的最值问题,再利用函数、三角函数的图象、单调性等求解. 栏目索引 高考导航 自主训练 2-1　正数a,b,c满足 + = ,若 + >t恒成立,则实数t的最大值为　　    . 答案　2 解析　由 + = 及a,b,c得 = >0,则b>c>0,0< <1,令t= ,t∈(0,1), + =  + = + =  >2,由 + >t恒成立,得 >t, 则t≤2,故实数t的最大值为2. 栏目索引 高考导航 自主训练 2-2　已知a,b∈R,a+b=4,则 + 的最大值为　　    . 答案      栏目索引 高考导航 自主训练 解析　由基本不等式可得ab≤ =4, 则 + =  = = .令9-ab=t,t≥5, 则ab=9-t, + = = ≤ = , 当且仅当t=4 时取等号,故 + 的最大值为 . 栏目索引 高考导航 自主训练 题型三　利用消元实现求解 例3　(1)若关于x的不等式x3-3x2+ax+b<0对任意的实数x∈[1,3]及任意的实数 b∈[2,4]恒成立,则实数a的取值范围是　　　    . (2)已知实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x2+y2的最小值为　　　    . 答案　(1)(-∞,-2)　(2)  栏目索引 高考导航 自主训练 解析　(1)不等式x3-3x2+ax+b<0对任意的实数 b∈[2,4]恒成立,则x3-3x2+ax+4<0对任意的实数x∈[1,3