2019高考数学（江苏）二轮专题攻略（课件+习题）：专题一　三角函数和平面向量 (共14份打包)

微专题1　三角形中的范围与最值问题 栏目索引 高考导航 自主训练 微专题1　三角形中的范围与最值问题     题型一　三角形中角或角的三角函数值的最值 例1　在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,则角B的最大值为　　    . 答案      栏目索引 高考导航 自主训练 解析    由角A,B,C的对边a,b,c成等差数列得a+c=2b.由余弦定理得cos B=  = = ≥ .又B∈(0,π),则B∈ ,即角B 的最大值是 . 【方法归纳】    求三角形中角的最值,一般先求角的某一三角函数值,通常取 余弦、正切等,若已知边的关系,利用余弦定理建立目标函数. 栏目索引 高考导航 自主训练 1-1　在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等比数列,则角B的最大值为　　    . 答案      解析　由角A,B,C的对边a,b,c成等比数列得ac=b2.由余弦定理得cos B=  = ≥ .又B∈(0,π),则B∈ ,即角B的最大值为 . 栏目索引 高考导航 自主训练 1-2　若△ABC的内角满足sin A+ sin B=2sin C,则cos C的最小值是　　    . 答案      解析    sin A+ sin B=2sin C,由正弦定理得a+ b=2c.由余弦定理得cos C=  = = ≥ ,当且仅当a= b时 取等号,故cos C的最小值是 . 栏目索引 高考导航 自主训练 1-3　在△ABC中,已知tan A=3tan B,则A-B的最大值为　　　    . 答案      解析    tan(A-B)= = = ≤ = ,当且仅当tan B= ,B= 时取等号.又A,B都是锐角,则- <A-B< ,故A-B的最大值是 . 栏目索引 高考导航 自主训练 题型二　三角形中面积的最值或取值范围 例2　在△ABC中,AB=2,AC= BC,则△ABC面积的最大值为　　　    . 答案　2  解析　以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC= BC,得(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2],化简得(x-3)2+y 2=8,即为点C的轨迹方程,当C(3,±2 )时,△ABC的面积取得最大值为2 . 栏目索引 高考导航 自主训练 【方法归纳】    已知三角形的一条边长(即三角形有两个顶点固定)、与第 三个顶点有关的条件,求相关的最值问题时,通常利用轨迹思想可以简化运 算,即建立适当的直角坐标系,求出第三个顶点的轨迹方程,再结合轨迹的特 征直接求解最值或建立目标函数,根据函数的特征选择基本不等式、导数等 方法求解最值. 栏目索引 高考导航 自主训练 2-1　在△ABC中,已知AB=2,AC2-BC2=6,则tan C的最大值是　　　    . 答案      栏目索引 高考导航 自主训练 解析　以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC2-BC2=6得(x+1)2+y2-(x-1)2-y2=6,化简得x= ,即点 C的轨迹方程是x= (y≠0).不妨设y>0,直线与x轴的交点为D,∠ACD=α,∠ BCD=β,则tan C=tan(α-β)= = ≤ = ,当且仅当y= 时 取等号,故tan C的最大值是 . 栏目索引 高考导航 自主训练 2-2    (2018江苏淮阴中学阶段检测)在△ABC中,AC=2,AB=mBC(m>1),若恰好 当∠B= 时△ABC面积最大,则m=　　　    . 答案　2+  解析     以AC所在的直线为x轴,AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(-1, 0),C(1,0).设B(x,y),y>0,由AB=mBC(m>1)得(x+1)2+y2=m2[(x-1)2+y2],化简得x2+y2-  x+1=0,即 +y2= .设直线 x= 与x轴的交点为D, 栏目索引 高考导航 自主训练 ABD=α,∠CBD=β,则△ABC的面积最大时,B ,此时∠ABC=   ,即 α-β= ,tan α=  =m,tan β=  =  ,则tan(α-β)=  = , 化简得m2-2 m-1=0,又m>1,解得m=2+ . ∠ 栏目索引 高考导航 自主训练 例3　已知△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=2,A= ,求△ABC面积的 取值范围. 解析　由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,则4=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c时 取等号,则△ABC的面积S= bcsin A≤ ×4× = ,故△ABC面积的取值范围 是(0, ]. 栏目索引