北师大版九年级数学下册教案：3.9弧长及扇形的面积

1.经历探索弧长公式和扇形面积公式的过程.

2.了解弧长公式和扇形面积公式,并运用公式解决问题.

1.经历探索弧长公式和扇形面积公式的过程,培养学生的探索能力.

2.了解弧长和扇形面积公式,并用公式解决问题,训练学生的数学运用能力.

1.经历计算过程,让学生体验数学活动充满探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

2.通过解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们学习的积极性.

【重点】　经历探索弧长及扇形面积公式的过程;了解弧长及扇形的面积公式;会利用公式解决问题.

【难点】　利用扇形面积公式解决问题.

【教师准备】　多媒体课件和圆规.

【学生准备】　

1.复习圆的周长和面积公式.

2.圆规、直尺.

导入一:

同学们,你参加过田径运动会吗?为什么在田径200米比赛中,每位运动员的起跑位置不相同呢?

学生分析:因为每个运动员所跑的弯道的路线是一条弧,而他们各自的半径不相等,所以他们的起跑位置不相同.

【问题】　那么怎么才能求出弧的长度呢?

[设计意图]　从学生熟悉的200米跑运动员的起跑位置引入本课,让学生体会生活中处处有数学,数学来源于生活这一事实.

导入二:

如图所示,在一块五边形绿化园地的五个角都建有半径为2 m的圆形喷水池,你能求出这五个喷水池占去的绿化园地的面积是多少吗?

教师引导学生思考下面的问题并回答:

1.五个阴影部分都是什么图形?

2.五个图形的圆心角度数的和是多少?

学生分析:五个阴影部分都是扇形,五个扇形的圆心角度数的和是540°.

【问题】　扇形的面积和圆的面积有什么关系?

[设计意图]　通过对扇形面积的探索,让学生初步感知扇形与圆的关系,为下面对其面积公式的探索打下了良好的基础.

　　[过渡语]　我们已经掌握了圆的周长和面积的计算方法,那么圆的一部分——扇形的周长和面积又该如何计算呢?

一、弧长公式

课件出示:

如图所示,某传送带的一个转动轮的半径为10 cm.

(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?

(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?

(3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?

教师引导学生思考下面的问题,并回答:

1.转动轮转一周,传送带上的物品应被传送的实际距离是　　　　的周长. 

2.转动轮转1°,可以表示成360°的圆心角的　　　　,所以,传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的　　　　 . 

3.转动轮转n°,可以表示成360°的圆心角的　　　　,所以,传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的　　　　. 

【师生活动】　学生独立思考,然后小组相互交流,教师巡视并参与到学生的讨论中去,代表发言师生共同订正.

解:(1)传送带上的物品A被传送的距离是:2π×10=20π(cm).

(2)传送带上的物品A被传送的距离是:=(cm).

(3)传送带上的物品A被传送的距离是:n×=(cm).

【问题】　根据上面的计算,你能探讨出在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流.

【学生活动】　学生类比刚才的探索,积极思考后,与同伴交流,统一答案.

学生分析:360°的圆心角对应圆周长为2πR,那么1°的圆心角对应的弧长为=,n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍,即n×=.

【教师点评】　总结弧长的计算公式.在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:l=.

【教师强调】　弧长的计算公式l=中的n表示的是1°的圆心角的倍数,所以没有单位.

 [设计意图]　承接创设的问题情境,让学生回顾圆的有关知识,并利用圆的性质探索推导弧长公式,能用得出的结论进行说理,实质上是圆的有关性质的运用.并掌握用公式解决实际问题的一般思路.

　　[过渡语]　你对弧长公式理解的怎么样?通过下面的例题验证一下吧!

课件出示:

　制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长度,即的长(结果精确到0.1 mm).

〔解析〕　管道的展直长度即弧AB的长,已知R=40 mm,n=110,根据弧长公式l=可求得的长

解:∵R=40 mm,n=110.

∴的长=πR=×40π≈76.8(mm).

因此,管道的展直长度约为76.8 mm.

[设计意图]　让学生利用公式进行弧长的有关计算,明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切,熟练公式的应用.

二、扇形的面积公式

课件出示:

在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3 m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.

(1)这只狗的最大活动区域有多大?

(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大?

【教师活动】　教师出示示意图供学生分析.

【学生活动】　学生首先独立思考两个最大区域的区别,然后与同伴交流,

解:(1)这只狗的最大活动区域是圆,它的面积为:32π=9π(m2).

(2)狗的活动区域是扇形(如图(2)所示),扇形是圆的一部分,360°的圆心角对应的圆面积是9π,1°的圆心角对应圆面积的,即×9π=,n°的圆心角对应的圆面积为n×=.

　　[过渡语]　类比弧长公式的推导,你能得出扇形的面积公式吗?

【学生活动】　学生动手操作,推导扇形的面积公式.