北师大版九年级数学下册教案：3.8圆内接正多边形

1.了解圆内接正多边形的概念及相关概念.

2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.

3.会用尺规作圆的内接正多边形.

学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中,体会到要善于发现问题,解决问题,发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力.

1.通过合作交流、探索、实践培养学生的主体意识.

2.通过学习,体验数学与生活的紧密联系,感受圆的对称美,正多边形与圆的和谐美,从而更加热爱生活,珍爱生命.

【重点】　掌握圆内接正多边形的性质并能加以熟练运用.

【难点】　用尺规作圆内接正多边形.

【教师准备】　多媒体课件和圆规.

【学生准备】　

1.复习勾股定理和垂径定理等相关知识.

2.圆规、直尺.

 

导入一:

如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的,图中的多边形是什么图形?它与圆的内接三角形有什么相同之处吗?

学生分析:图中的多边形是正六边形,它与圆的内接三角形一样顶点都在圆上.

【问题】　它有哪些性质?它又是如何画出来的呢?

[设计意图]　利用类比的方法,使学生初步感知圆内接多边形的模型,利用学生急于知道答案的心理设计问题,增加了它的神秘感,更加激发了学生的求知欲望.

导入二:

如图所示的是正六边形的蓝色纸板,如果以它的中心为圆心,以中心到顶点的距离为半径画圆,你会有什么发现?

【师生活动】　学生利用直尺和圆规动手操作,进行画图,教师巡视,对于发现的问题及时予以纠正,学生完成后与同伴交流,然后教师出示课件,供学生参考.让学生说出自己发现的结论,师生共同订正.

【问题】　六边形和圆有什么样的位置关系?如果先给你一个圆,你能在圆中画出正六边形吗?

[设计意图]　 在教学中创设问题情境,激发学生对探索圆内接正多边形的兴趣.通过学生的作图活动,使学生明确这节课的学习任务,利于学生集中精力学习重点内容.

　　[过渡语]　前面我们探究了圆内接三角形的概念及性质,和圆有关的其他多边形又有什么样的特征呢?

一、圆内接正多边形的概念

课件出示:

如图所示:

【问题】　

1.你能从这四幅图中找出多边形吗?它们都是几边形?

2.它们都是什么样的多边形?

3.这些正多边形的顶点都具有什么样的特征?

【学生活动】　学生观察,与同伴交流,思考后得出结论.

【教师点评】　每个多边形的边长都相等,所以它们都是正多边形,并且这些正多边形的顶点都在圆上.

顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.

　　[过渡语]　我们如何简单、快速地作出圆的内接正多边形呢?

教师引导学生思考下面的问题:

1.如何作圆内接正三角形?正四边形?正五边形?正六边形?

2.如何作圆内接正n边形?

【活动方式】　分组活动,全班分成四个组分别作四种图形.

【师生活动】　学生思考后讨论,教师巡视,并参与到学生的讨论中去.然后学生作出圆的内接正多边形.请代表发言,说出他们的作法.

【教师点评】　利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法:

把一个圆n等分(n≥3),依次连接各分点,就可以作出一个圆内接正多边形.

　　[过渡语]　下面我们了解一下圆内接正多边形的相关概念.

课件出示:

如图所示,五边形ABCDE是☉O的内接五边形.

【活动方式】　让学生通过图形,结合课本,自己了解圆内接正五边形的相关概念.

【教师点评】　圆心O叫做这个正五边形的中心;OA是这个正五边形的半径,∠AOB是这个正五边形的中心角;OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的边心距.

[设计意图]　学生经历观察、猜想、操作的过程,逐步掌握了圆内接正多边形的相关概念和作法,并利用类比推理的方法得到其性质,提高了学生解决问题的综合能力.

[知识拓展]　正n边形的性质:

1.正n边形的每个中心角都相等,都等于;

2.正n边形的每个外角都相等,都等于;

3.正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.

　　[过渡语]　上面我们了解了圆内接正多边形的概念及性质,请你运用这些知识解决下面的问题.

二、圆内接正多边形性质的运用

课件出示:

　如图所示,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距.

〔解析〕　在由半径OC、边长的一半CG、边心距OG组成的Rt△OGC中,利用勾股定理进行解决是解题的关键,而求解边长,则连接OD得出△OCD是等边三角形就可以得出OC=CD=4.

解:连接OD.

∵六边形ABCDEF为正六边形,

∴∠COD==60°.

∴△COD为等边三角形,

∴CD=OC=4.

在Rt△COG中,OC=4,CG=BC=×4=2,

∴OG===2.

∴正六边形ABCDEF的中心角为60°,边长为4,边心距为2.

 [设计意图]　此例是教材上的例题,紧扣这堂课的知识点,重点是对基础知识的巩固,并在巩固重点之余又培养了灵活应用能力.

[知识拓展]　特殊的圆内接正多边形的边长、半径、边心距之比: