北师大版九年级数学下册教案：3.7切线长定理

1.了解切线长的概念,并经历探索切线长定理的过程.

2.会证明切线长定理,并能运用切线长定理进行相关的计算.

1.初步学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能运用所学的知识和技能解决问题,发展应用意识.

2.在解题过程中,形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.

了解数学的价值,对数学有好奇心与求知欲,在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.

【重点】　了解切线长的概念,掌握切线长定理.

【难点】　切线长定理的证明及应用.

【教师准备】　多媒体课件和圆规.

【学生准备】　

1.复习三角形内切圆等相关知识.

2.直尺和圆规.

导入一:

在一个墙角放置了一个圆形的容器,俯视图如图所示,在俯视图中圆与两边的墙分别切于B,C两点.

【问题】　图中的线段AB和线段AC的长度有什么关系?为什么?

学生大胆猜测:AB=AC,但是不知道什么原因.

【引入】　从☉O 外的A点画出的两条切线AB和AC为什么相等?这就是本节课我们要探究的内容——切线长定理.

[设计意图]　通过让学生看到日常生活所熟悉的情境,极大地激发了学生的学习兴趣,并在鼓励其大胆猜想的同时引出了本节课所要探究的内容,使学生能做到有的放矢.

导入二:

如图所示,PA,PB是☉O的两条切线.有一天中午,一只小蜗牛放学回家,饥饿难耐,妈妈把小蜗牛喜欢吃的两份一样的美食分别放在了☉O上的A,B两点处,你帮小蜗牛选择一下,在相同的速度的条件下,沿路PA走还是沿路PB走能使它尽快吃到食物?

【学生活动】　学生积极发言,大胆猜测,教师要求学生说明各自结论的理由.

学生分析:大部分同学会认为两条路是一样的,即PA=PB.

【问题】　PA和PB是过圆外一点P画出的圆的两条切线,如果PA=PB,那么是否过圆外任意一点画出的圆的两条切线都相等呢?

[设计意图]　通过小蜗牛的故事,吸引了学生的注意力,让他们在游戏中初步感知本节课的探究任务,为下面切线长定理概念的探究打下了良好的基础.

　　[过渡语]　前面我们探究了圆的切线的性质定理,圆的切线还有哪些相关的性质呢?今天我们就来进行探索.

一、切线长概念

想一想:过圆外一点画圆的切线,你能画出几条?

【师生活动】　学生迅速抢答:过圆外一点可以作一条、两条,还有的学生认为可以作无数条圆的切线.教师要求学生动手操作,教师巡视发现问题.

【教师点评】　过圆外一点能画出两条圆的切线.

课件出示:

【议一议】　如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.

问题:(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?

学生分析:这个图形是轴对称图形,它的对称轴是点P,O所在的直线.

问题:(2)在这个图形中你能找到相等的线段吗?

【师生活动】　学生思考后得出PA=PB.教师要求学生说说理由.

代表发言:因为这个图形是轴对称图形,根据其性质“对应线段相等” 就可以得出PA=PB.

【教师点评】　图中的线段PA,PB是圆的切线,它们的长度就叫做切线长.

切线长概念:过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.

[设计意图]　通过切线长概念的探究过程,不但了解了切线长的概念,而且通过对相等线段的判断,使学生初步感知了切线长定理的证明方法,为下面定理的证明打下良好的基础.

[知识拓展]　

切线与切线长的区别:它们是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.

　　[过渡语]　上面我们了解了切线长的概念,那么过圆外一点所画的圆的两条切线的长度有什么关系呢?

二、切线长定理及其证明

【教师引导】　通过情境导入和上面对议一议第二个问题的探究,我们都得到了一个同样的结论切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.

【想一想】　除了刚才我们利用轴对称的性质外,你还有其他的方法对切线长定理进行证明吗?

学生分析:根据“见切点连半径”的思路,可以构造出两个直角三角形,再根据切线的性质证明两个三角形全等就可以得出PA=PB.

 

【师生活动】　要求学生先独立解答,完成后同伴相互交流,代表板演展示.学生完成后,教师课件出示解答过程,供学生参考,规范他们的解题步骤.

　已知:如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.

求证:PA=PB.

证明:连接OA,OB,PO.

∵PA,PB是☉O的切线,

∴∠PAO=∠PBO=90°.

在Rt△OPA和Rt△OPB中,

∵OA=OB,OP=OP,

∴Rt△OPA≌Rt△OPB.

∴PA=PB.

符号语言描述:

若线段PA,PB是☉O的切线,则PA=PB.

 [设计意图]　通过对切线长定理的证明,不但加深了对切线长定理的印象,还进一步掌握了切线的辅助线的做法,一举两得.

[知识拓展]　切线长定理推论1:圆心和圆外一点的连线,平分从这点出发的两条切线的夹角.

三、圆外切四边形边的性质

[过渡语]　上节课我们研究了三角形的内切圆的性质,那么四边形的内切圆又有什么样的性质呢?课件出示:

【想一想】　如图所示,四边形ABCD的四条边都与☉O相切,图中的线段之间有哪些等量关系?与同伴进行交流.

【教师活动】　为帮助学生更好地解决问题,教师出示下面的图形,帮助学生进行分析.

【学生活动】　学生仔细观察,找出图中相等的线段后,与同伴交流,统一答案.

代表发言:∵四边形ABCD为圆外切四边形,根据切线长定理可得:AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH.

【问题】　但是原图中并没有E,F,G,H四个点,显然题目的原意并不是要得出上面的四组线段相等,你还能得出线段之间的相等关系吗?

【师生活动】　学生分组讨论,教师巡视并参与到学生的讨论当中去,对感觉有难度的学生及时进行点拨、指正.每组的代表把得到的结论写在黑板上,统一学生的答案,教师找学生说明理由.

证明:∵AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH,

∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=(AH+DH)+(BF+CF)= AD+BC,

即AB+CD=AD+BC.

【教师点评】　切线长定理推论2:圆的外切四边形的两组对边之和相等.