北师大版九年级数学下册教案：3.5确定圆的条件

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程.

2.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆,会用尺规过不在同一直线上的三个点作圆,了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力.

2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题,进一步体会解决数学问题的策略.

1.形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.

2.学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.

【重点】　掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

【难点】　经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,过不在同一条直线上的三个点作圆.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　

1.复习线段垂直平分线的尺规作法.

2.圆规,直尺.

导入一:

如右图所示,一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞,鼠洞只有三个出口A,B,C,要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞,这只花猫最好蹲守在什么位置?

学生分析:要想同时顾及三个出口,就要满足花猫所在的点到三个洞口A,B,C的距离相等.

【问题】　A,B,C可以看成△ABC的三个顶点,在三角形的内部有没有到三个顶点的距离相等的点呢?

[设计意图]　利用“猫捉老鼠”的游戏进行引入,极大地吸引了学生的注意力,激发了他们学习的欲望,为下面新知的探究奠定了良好的基础.

导入二:

长沙马王堆一号汉墓的发掘,在我国的考古界算得上惊人的发现,在世界考古学史上,也产生了深远的影响.一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时,发现一破损的圆形铜镜,如图所示,你能帮助这位考古学家将这个圆形铜镜复原,以便于进行深入的研究吗?

教师引导学生思考:要复原圆形铜镜,即画出和铜镜一样大小的圆,关键是什么呢?

【学生活动】　学生相互讨论后发言:关键是要找出圆形铜镜的圆心和半径.

【引入】　确定圆的两个要素就是圆心和半径.那么如何才能找出它的圆心和半径呢?通过本节课的学习,相信大家一定能找到解决问题的办法.

[设计意图]　通过创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣,并感受祖国历史文化的源远流长;通过问题的思考讨论,让学生回忆圆的定义及作圆的关键是确定圆心和半径,自然地引入课题.

　　[过渡语]　我们知道经过一点可以作无数条直线,经过两点可以确定一条直线,那么经过几点能确定一个圆呢?

一、确定圆的条件

课件出示:

活动1:作圆,使它经过已知点A,你能作出几个这样的圆?

【师生活动】　先由学生自己动手尝试画图,师巡视发现学生出现的问题.学生完成后,根据学生的画法,发现了以下两种情况,供学生判定对与错.

1.有的同学以点A为圆心画了很多同心圆.

2.经过点A画了很多圆.

学生分析:第二种作法正确,因为经过点A意味着点A在圆上,而不是圆心.

【教师点评】　以点A以外的任意一点为圆心,以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆.(教师利用多媒体动画演示画圆)

【学生小结】　经过已知一点的圆有无数个,如图所示.

活动2:作圆,使它经过已知点A,B. 你是如何做的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?

【师生活动】　先由学生自己动手尝试画图.师巡视发现学生出现的问题.待学生完成后,询问作出的圆的个数.

根据学生的回答,展示三种作法让学生进行对比.

1.有的同学取线段AB的中点为圆心,作出一个圆;

2.有的同学作线段AB的垂直平分线,作出两个圆.

3.有的同学作线段AB的垂直平分线,能作出无数多个圆.

【教师点评】　在线段AB的垂直平分线上任意取一点,都能满足到A,B两点的距离相等,所以在线段AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心,这点到A的距离即为半径.圆就确定下来了.因为有无数个圆心,所以作出的圆就有无数个.(教师多媒体动画演示画圆)

【学生小结】　经过已知两点的圆也有无数个,如图所示.

活动3:作圆,使它经过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上).你是如何做的?你能作出几个这样的圆?

【学生活动】　先由学生自己动手尝试画图,可能会有很多同学不知道如何下手.

【师生活动】　教师让学生说出自己利用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法和步骤,教师同时利用多媒体展示作法,让没完成的同学跟着完成.

　　想一想:这样作出的圆符合要求吗?与同伴交流.

【学生活动】　学生分组讨论后,代表发言:

因为连接AB,作AB的垂直平分线ED,则ED上任意一点到A,B的距离相等,连接BC,作BC的垂直平分线FG,则FG上的任一点到B,C的距离相等.ED与FG的交点O满足OA=OB=OC,因此这样的画法满足条件.因为两条直线的交点只有一个,所以只有一个圆心,即只能作出一个满足条件的圆.

【教师点评】　不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

活动4:过同一直线上的三点能作圆吗?

学生动手操作后都感觉疑惑,然后继续分组讨论.代表发言:不能,找不到圆心.原因是:线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线平行,没有交点,如图所示.

【教师强调】　过同一直线上的三点是无法确定圆的,所以要注意“不在同一条直线上”这个条件的重要性.

[设计意图]　通过前两个问题的探究,不但使学生掌握了经过一个点和两个点都不能确定圆的事实,还进一步激发了学生的探究欲望,使其自然而然的想要探究经过三个点是否可以确定一个圆,为下面的探究打下了良好的基础.

　　[过渡语]　 我们知道三角形的三个内角的平分线会交于一点,并且这一点到三角形三边的距离相等,那存不存在到三角形三个顶点的距离相等的点呢?

二、三角形的外心

【想一想】　三角形的三个顶点可以确定一个圆吗?

学生分析:因为三角形的三个顶点一定不会在同一直线上,所以经过三角形的三个顶点肯定能作一个圆.

【教师点评】　这个三角形和圆之间有如下的特殊关系.

三角形外接圆和外心的概念:

三角形的三个顶点可以确定一个圆,这个圆就叫做三角形的外接圆.