北师大版九年级数学下册教案：3.3垂径定理
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1.利用圆的轴对称的性质探索垂径定理及其逆定理.
2.运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明,并能解决一些实际问题.
3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
1.经历探索垂径定理和推论的证明过程,掌握由猜测到论证的证明思路和探索方法的多样性.
2.学会与人合作探索获得新知识的一些方法.
通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.
【重点】
1.利用圆的轴对称的性质探索垂径定理及其逆定理的过程.
2.垂径定理的简单应用.
【难点】 运用垂径定理及其逆定理解决有关的实际问题.
【教师准备】 多媒体课件和圆规.
【学生准备】
1.复习轴对称的知识和圆心角、弧、弦之间的关系.
2.圆规、直尺以及圆形纸片.
导入一:
如右图所示,“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长为多少?
【问题】 当弦AB⊥CD时,你能得出哪些相等的线段?相等的弧?相等的角?
[设计意图] 利用古代数学问题引入,让学生了解本节课的探究任务的同时,又感受到了中国古代劳动人民的聪明才智,再次体会数学的博大精深.
导入二:
如图所示,一只聪明的小蚂蚁想吃点B处的糖,欲沿着弦AB的方向由点A处爬向点B处,如果已知☉O的半径为5,弦AB的长为8,你知道小蚂蚁在爬行的过程中什么时候离圆心O最近吗?你能帮助它求出这个最近距离吗?
【学生活动】 学生互相讨论解决问题的方法并猜想:应该是爬到线段AB的中点处时,离圆心O的距离最近.
【问题】 为什么到线段AB的中点处时离圆心O的距离最近呢?最近的距离又是多少呢?
[设计意图] 由学生熟悉的小蚂蚁找食物的生活情境入手,让学生通过观察、猜想发现不能解决的问题,不但逐步引出本节课的课题,同时又有效地激发了学生的学习热情.
[过渡语] 上节课我们探究了圆的对称性中的中心对称的性质,本节课我们继续探讨圆的轴对称的性质.
一、垂径定理
【做一做】 如右图所示,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
【活动方式】 学生前后四人一组,分工合作,互相帮助,动手画圆、剪圆,按轴对称图形的探究方法探究,寻找活动过程中产生的直径、弦、弧的关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流,教师要深入到小组中指导.
问题1
此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
【学生分析】 这个图是轴对称图形,对称轴是直径CD所在的直线.
问题2
你能发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由.
【学生活动】 学生统一答案后,代表发言:我们采用折叠的方法.方法如下:将这个图沿着直径CD折叠,发现AM与BM重合,∠CMA与∠CMB重合,∠DMA与∠DMB重合,
与
重合,
与
重合,所以等量关系有AM=BM, ∠CMA=∠CMB=90°,∠DMA=∠DMB=90°,=,=.
【教师点评】 平分弦AB所对的弧指平分弦AB所对的优弧和劣弧.我们上面这个结论称为垂径定理.
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
【教师强调】 垂径定理的注意事项:
(1)条件中的“弦”可以是直径;
(2)结论中的“弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.
符号语言:∵CD是圆的直径,CD⊥AB于M,∴AM=BM,=,= .
[过渡语] 上面我们是利用折叠的方法得出了垂径定理,我们能不能对垂径定理进行推理证明呢?你能写出它的证明过程吗?
【师生活动】 学生思考后认为:可以利用轴对称的性质,通过三角形全等进行证明.学生独立解答,代表板演展示.教师课件出示解题过程,规范学生的解题步骤.
如右图所示,已知AB是☉O的一条弦,CD是☉O的一条直径,并且CD⊥AB,垂足为M.求证AM=BM, =,=.
证明:连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB,OM=OM,
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM,∠AOC=∠BOC.
∴=.
∵∠AOD=180°-∠AOC,
∠BOD=180°-∠BOC,
∴∠AOD=∠BOD.
∴=.
[设计意图] 让学生在探究的过程中得出垂径定理,并能快速、准确地将该定理的三种语言进行转化.应鼓励学生用多种方法进行探讨,体会研究图形的多种方法.
[知识拓展] 1.垂径定理是在圆中证明线段相等及弧相等的一种非常好的方法.
2.连接半径是圆中最常用的辅助线作法.
[过渡语] 你能说出垂径定理的逆命题吗?它的逆命题正确吗?
二、垂径定理的逆定理
课件出示:
如右图所示,AB是☉O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于M.
(1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由.
【活动方式】 类比刚才的探究垂径定理的方法,学生先独立思考,然后让学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识.之后教师用课件展示解题思路.
教师引导学生思考下面的问题:
1.类比垂径定理的语言描述,你能总结得出结论吗?
2.平分弦中的弦可以是直径吗?
3.你得出的结论和垂径定理有什么区别?
【师生总结】 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
【教师点拨】 我们把“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧”称为垂径定理的逆定理.