3.3 垂径定理　同步练习　　2024—2025学年北师大版数学九年级下册

北师大版九下 3.3 垂径定理 一、单选题 1. 如图， 为 直径，交弦 于点 ，若 点为 中点，则说法错误的是 A. B. C. D. 2. 如图， 和 内切，它们的半径分别为 和 ，过 作 的切线，切点为 ，则 的长为 A. B. C. D. 3. 如图， 的直径 垂直弦 于点 ，且 为半径 的中点，若 ，则 的半径为 A. B. C. D. 4. 如图， 是 的直径，弦 与 交于点 ，下列三角形中，外心不是点 的是 A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是 ①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 ②平分弦的直径平分弦所对的弧 ③垂直于弦的直线必过圆心 ④垂直于弦的直径平分弦所对的弧 A. ②③ B. ①③ C. ②④ D. ①④ 6. 如图，正三角形 内接于 ，动点 在圆周的劣弧上，且不与 ， 重合，则 等于 A. B. C. D. 7. 如图，在 中，， 是两条弦，，，如果 ，则下列结论不正确的是 A. B. C. D. 8. 在 中，， ，则这个三角形的外接圆的直径是 A. B. C. 或 D. 或 9. 如图， 为 的弦，点 在弦 上，，，点 到 的 距离为 ，则 长为 A. B. C. D. 10. 如图，以点 为圆心的两个圆中，大圆的弦 切小圆于点 ，半径 交小圆于点 ，若 ，，则 的长是 A. B. C. D. 11. 如图，在 中，，，，， 分别是 ， 的中点，则以 为直径的圆与 的位置关系是 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 二、填空题 12. 如图，，， 是 上的点，，垂足为 ，且 为 的中点．若 ，则 的长为  ． 13. 如果半径为 的 与半径为 的 内切，那么两圆的圆心距   ． 14. 把半径为 的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若 ，则 的长为  ． 15. 如图，等边 中，， 为三角形中心， 的直径为 ，现将 沿某一方向平移，当它与等边 的某条边相切时停止平移，记平移的距离为 ，则 的取值范围是  ． 16. 如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为 ，若 ， 厘米，则  厘米． 三、解答题 17. 如图， 是 的直径，弦 于点 ，点 在 上， 恰好过圆心 ，连接 ． （1）若 ，，求 的直径； （2）若 ，求 的度数． 18. 如图，已知 是 的直径，点 、 在 上， 且 ，过 点作 ，垂足为 ． （1）求 的长； （2）若 的延长线交 于点 ，求弦 ， 和 围成的图形（阴影部分）的面积 ． 19. 如图，， 与 相交于点 ，，．求 的长． 20. 如图， 是圆 的直径，作半径 的垂直平分线，交圆 于 ， 两点，垂足为 ，连接 ，． （1）求证：； （2）已知 ，求圆 的半径． 21. 如图，在 中， 是弦 上的一个动点，连接 ，过点 作 交 于点 ． （1）当点 在 的什么位置时， 的长取得最大值? （2）若 ，求 长的最大值． 答案 一 单选题 1. D 【解析】 为 直径，交弦 于点 ， 点为 中点 ，故A选项正确； 为 直径， 点为 中点， ，，故B，C选项正确，D选项错误． 故选：D． 2. C 3. A 4. B 5. D 【解析】根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确． 故选：D． 6. B 7. C 8. D 9. C 【解析】过点 作 ，垂足为点 ， ，，点 到 的距离为 ， ，， ， ， ． 10. C 【解析】如图，连接 ， 是 切线， ，， 在 中，，，， ， ， ． 11. A 【解析】 如图过点 作 于点 ，交 于点 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， 分别是 ， 的中点， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． ∵ 以 为直径的圆半径为 ， ∴ ， ∴ 以 为直径的圆与 的位置关系是相交． 二 填空题 12. 【解析】连接 ，．易证四边形 是菱形， ． 13. 14. 15. 【解析】提示：当 平移至与 重合时， 最大．如图，作 于 ， 于 ． 等边 中，， 为三角形中心，则 ，． ， ． ． 当 平移至与 重合时，．如图，作 于 ． ，， ． ， ． ． 16. 略 三 解答题 17. （1） ，， ， 设 ，则 ， 在 中，， 解得 ， 的直径是 ．       （2） ，， ， ， ． 18. （1） 连接 ． 和 分别是 所对的圆周角和圆心角， ， ． ， ，． 是 的直径， ， ． ．       （2） ， ． ， ． ． ． 19. 如答图，过点 作 于点 ． ，，， ． ， ． 在 中， ， ， ， ． 20. （1） 是圆 的直径，且 ， ， ．       （2） 连接 ，设圆 的半径为 ， 垂直平分 ， ，． 在 中，，根据勾股定理得 ， ， ． 故圆的半径为 ． 21. （1） 连接 ． ， ． ． 当 的长最小时， 的长最大． 当 时， 的长最小， 的长取得最大值，此时点 在 的中点位置．       （2） 由（），知 ， 此时 ， 两点重合． ，即 长的最大值为 ． 第1页（共1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$