北师大版九年级数学下册教案：2.5二次函数与一元二次方程

 

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.

2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.

3.理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.

4.理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标.

5.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.

6.进一步发展估算能力.

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.

2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.

3.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

2.具有初步的创新精神和实践能力.

3.通过共同观察和讨论,培养学生的合作交流意识.

【重点】

1.掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法,进一步发展估算能力.

2.理解二次函数的图象和x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.

【难点】　

1.掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法解决相关的问题.

2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.

第课时

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.

2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标.

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.

2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

2.具有初步的创新精神和实践能力.

【重点】　把握二次函数图象与x轴(或直线y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系.

【难点】　探索二次函数与一元二次方程的关系的过程;理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　复习一元二次方程的根的情况及二次函数图象的性质.

导入一:

小兰同学画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图所示,你能利用图象求出关于x的方程x2+ax+b=0的解吗?

学生分析:如图所示,∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点坐标分别是(-1,0),(4,0),∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.

【问题】　二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间有什么关系?图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系?

[设计意图]　通过观察、分析、发现的过程,让学生初步感知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间的关系,为下面的探究打下了良好的基础.

导入二:

“神舟十号”是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱和附加段组成.“神舟十号”在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射.某科技实验小组也自行设计了火箭,经测试,该种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-t2+10t-15表示,你能算出经过多长时间,火箭可以达到9 m的高度吗?

【问题】　当h=9时,二次函数h=-t2+10t-15的形式发生了怎样的变化?

学生分析:当h=9时,二次函数h=-t2+10t-15就转变成了一元二次方程-t2+10t-15=9.

[设计意图]　通过对火箭发射的探究,引导学生将函数表达式进行转变,逐步引出本节课的知识,即二次函数与一元二次方程的关系,激发了学生的探究欲望,提高了学生的学习积极性.

　　[过渡语]　我们知道二次函数表达式为y=ax2+bx+c.当y=0时,二次函数表达式y=ax2+bx+c就转变成了一元二次方程ax2+bx+c=0,两者之间存在着一些必然的联系.

一、二次函数与一元二次方程的关系

课件出示:

我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40 m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.那么:

(1)h与t的关系式是什么?

(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.

问题1

师引导学生仔细审题,回答下面的问题:

1.由图象可得h0=　　　　,v0=　　　　. 

2.由h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,可得h与t的关系式为　　　　. 

学生分析:生发言:h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40 m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0=40,h0=0代入上式即可求出h与t的关系式,所以h=-5t2+40t.

问题2

怎样求出小球落地所需要的时间?

思路一

【师生活动】　要求学生通过观察图象得出结论,学生观察、分析、讨论后,师生统一答案.

解:观察图象可得:小球经过8 s后落地.

思路二

师引导学生仔细审题,回答下面的问题:

1.小球落地时高度h为何值?

2.当h取值时,函数表达式发生了怎样的转变?

3.求出的一元二次方程的两个解是否都满足题意?

【师生活动】　要求学生思考后,与同伴交流,教师巡视并参与讨论,及时订正学生出现的错误.

【学生活动】　独立完成后,同伴交流,代表板演解题过程.

解:令h=0,得-5t2+40t=0,即t2-8t=0,

∴t(t-8)=0.

解得t1=0,t2=8.

∵t=0是小球没抛时的时间,

∴t=8是小球落地时的时间.

∴小球经过8 s后落地.

【教师点评】　两种方法运用了一“数”一“形”,再次体现了数形结合的数学思想方法.

[设计意图]　通过实际问题的解答,使学生进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系,同时利用两种不同的方法进行求解,体现了解题方法的灵活性,同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想,也可以体会两种解题方法的不同之处和内在联系.

　　[过渡语]　二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间有什么关系?图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系?

课件出示:

【议一议】　二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象分别如图所示.