北师大版九年级数学下册教案：2.4二次函数的应用

 

 

1.经历求最大面积、计算最大利润等问题的探索过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学知识的应用价值.

2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值,增强解决问题的能力.

1.从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型,并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,培养学生分析问题和解决问题的能力.

2.通过小组合作探索,获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.

1.体验函数知识的实际应用价值,感受数学与人类生活的密切联系.

2.在实践动手中,让学生产生对数学的兴趣,从而培养学生观察和推理的能力,体验主动探究的快乐.

【重点】　分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题.

【难点】　经历求最大面积、计算最大利润等问题的探索过程,建立二次函数——最优化问题的数学模型,感受数学知识的应用价值.

第课时

1.经历探究矩形最大面积问题和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.

2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.

1.能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展学生解决问题的能力,学会用建模的思想去解决其他和函数有关的应用问题.

2.通过观察图象,理解顶点的特殊性,会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题,通过动手动脑,提高分析、解决问题的能力,并体会一般与特殊的关系,培养数形结合思想、函数思想.

1.在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识,逐步养成合作交流的习惯.

2.培养学生学以致用的习惯,体会数学在生活中广泛的应用价值,激发学生学习数学的兴趣、增强自信心.

【重点】　能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题.

【难点】　能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　复习二次函数的性质及最值和几何图形的面积公式.

导入一:

一养鸡专业户计划用长116 m的竹篱笆靠墙(如图所示)围成一个矩形鸡舍,怎样设计才能使围成的矩形鸡舍的面积最大?最大面积为多少?

学生分析解题思路:设BC=x m,则AB=CD=(116-x)m,矩形鸡舍的面积为S,根据矩形的面积公式就可以得出S与x之间的函数关系式,由二次函数的顶点式就可以求出结论.

【引入】　求矩形鸡舍的最大面积的实质就是求二次函数表达式的最值问题,本节课我们就来探究形如最大面积的问题.

[设计意图]　通过对养鸡场的设计,既揭示了本节课的主题,又让学生体会了成功的喜悦,大大激发了学生的学习兴趣.

导入二:

同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌,大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多?

课件出示:(生活中常见的广告牌)

请同学们思考下面的问题:

现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老总满意的广告牌?

【问题】　显然在周长一定的情况下,面积越大,利润就越多,老总越满意,如何能让广告牌的面积最大呢?

[设计意图]　通过实际情境设置悬念,引入新课,让学生充分感受到最值的概念,让学生亲身实践探究,培养学生思维的缜密性,渗透函数思想.

一、探究几何图形的最大面积问题

　　[过渡语]　在日常生活中,我们经常遇到与面积有关的设计问题,今天我们探究在什么情况下面积最大,最大面积又是多少的问题.

给出课本的【引例】和【议一议】两个问题,探究最大面积的求解方法.

【引例】　如图所示,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.

(1)如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?

(2)设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?

思路一　

教师引导学生思考下面的问题:

1.△EBC和△EAF有什么关系?

2.如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?

3.如何表示矩形ABCD的面积?

4.若矩形的面积为y m2,如何确定矩形ABCD面积的最大值?

【师生活动】　老师引导学生逐题解决,学生独立思考,然后与同伴交流,最后在小组交流中统一思路,代表展示:

解:(1)∵AB=x,∴CD=AB=x.

∵BC∥AD,∴△EBC∽△EAF.

∴=.

又AB=x,∴BE=40-x,

∴=,∴BC=(40-x).

∴AD=BC=(40-x)=30-x.

(2)由矩形面积公式,得y=AB·AD=x·(40-x),

即y=-x2+30x=-(x-20)2+300.

所以当x=20时,y的值最大,最大值是300.

即当AB边长为20 m时,矩形ABCD的面积最大,是300 m2.

思路二

【教师设疑】　如果设AD边的长为x m,那么问题会怎样呢?与同伴交流.

【学生活动】　小组讨论后,统一想法:要求面积需求AB边的长,而AB=DC,所以需要求DC的长度,而DC是△FDC中的一边,所以可以利用三角形相似来求.

解:(1)∵DC∥AB,∴△FDC∽△FAE,

∴=.

∵AD=x,FD=30-x,∴=.

∴DC=(30-x),∴AB=DC=(30-x).

(2)y=AB·AD=(30-x)·x=-x2+40x=-(x-15)2+300.

当x=15时,y最大=300.

即当AD的长为15 m时,矩形的面积最大,最大面积是300 m2.

[设计意图]　从矩形的面积公式入手,利用相似三角形的性质表示出另外一条边,才能列出函数表达式,这一过程先由学生独立思考后,分组合作探究、交流,帮助个别存在困难的同学解决.此题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法.

　　[过渡语]　如果我们将上面的问题进行变式,你能求出它的最大面积吗?