2.4二次函数的应用（第2课时）教学设计 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦二次函数的应用，核心是利用二次函数解决实际最值问题。通过复习总利润公式，类比几何最值问题导入，衔接已有二次函数图像性质知识，搭建学习支架。 采用问题驱动与探究式学习，以服装厂利润、旅馆租金等实例引导学生经历“问题情境→建立模型→求解验证”过程，结合几何画板动态演示函数图像，直观理解最值，培养几何直观、模型意识与推理意识。帮助学生提升分析解决问题能力，教师易上手，有效突破教学难点。

2.4二次函数的应用（第2课时） 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第2章“二次函数”的第4节。内容包括利用二次函数解决实际问题，特别是"最值问题"，分析和解决利润最大化、用料最省、高度最高等生活中的优化问题。 （二）教学内容解析 这是二次函数图像和性质的综合应用，体现了数学建模的思想，是连接数学与现实世界的桥梁 为高中学习更复杂的函数应用奠定基础。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】将简单的实际问题转化为数学问题，分析和表示变量之间的二次函数关系，并运用二次函数知识求出实际问题的最值。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 能分析实际问题中的数量关系，列出二次函数解析式，能根据函数性质或顶点坐标求出实际问题的最大值或最小值 2. 经历"问题情境→建立模型→求解验证"的过程，提升数学建模和分析问题、解决问题的能力 3. 体会数学的应用价值，增强应用数学的意识和信心 （二）教学目标解析 1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力. 2.进一步理解二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标与函数最值的关系，并明确当a＜0时函数取得最大值，当a＞0时函数取得最小值. 3.经历探索二次函数最值问题的过程，体会模型思想和数形结合的思想. 三、学生学情分析 已有基础：学生已掌握二次函数的图像、性质及求顶点坐标的方法，具备初步的分析问题和列方程的能力 潜在困难：从复杂的实际问题中抽象出数学模型存在困难，正确设定自变量和因变量可能出错 对求得的数学解进行检验和解释，回归实际意义的能力较弱。 基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】通过数形结合的方法，分析二次函数图像的特点，确定函数的最大值及其在实际问题中的意义 四、教学策略分析 1. 教学方法：采用问题驱动和探究式学习相结合的方法，通过典型例题引导学生自主思考、合作探究教师适时点拨，帮助学生突破难点 2.教学手段：运用多媒体课件展示生活中的实际问题，利用几何画板动态演示函数图像，直观理解最值的产生2. 教学手段：利用多媒体课件展示问题情境和动态图形，使用几何画板等工具直观演示图形变化与面积变化的关系 五、教学过程分析 （一）复习引入 类比几何问题求最值，想一想如何求利润问题的最大值？ 总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量 设计意图：回顾相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件. （二）主动参与、感悟新知 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？ 分析：1．成本10元，批发单价13元，则一件T恤衫可以获得多少利润？ 2．“经销商愿意经销5000件”？这时厂家获得多少利润？ 3．为什么降价后经销商可以多经销一些T恤衫? 4．降低0.1元后，批发单价为多少？销售量为多少？利润增加了吗？降低0.2元呢？降低x个0.1元呢？ 5．厂家能无限降价吗？x的取值有什么限制？ 解：设批发单价降低0.1x元，所获利润为y元，则批发单价为(13-0.1x)元；销售量为(5000+500x)件； ∴y=(5000+500x)(13-0.1x-10) =-50(x-10)2+20000 因为x≥0，13-0.1x＞10，∴0≤x＜30 当x=10时，即批发单价为12元时，可以获得最大利润。 答：批发单价为12元时，可以获得最大利润。 例 某旅馆有客房 120 间，每间房的日租金为 160 元时，每天都客满. 经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加 10 元，那么客房每天出租数会减少 6 间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高? 最高总收入是多少? 解：设每间客房的日租金提高 10x 元，则每天客房出租数会减少 6x 间. 设客房日租金总收入为 y 元，则y = (160 + 10x)(120 - 6x) = -60(x - 2)2 + 19440 ∵ x≥0，且120－6x＞0，∴ 0≤x＜20. 当 x = 2 时， y最大=19440. 这时每间客房的日租金为 160 + 10×2 = 180 (元) 因此，每间客房的日租金提高到 180 元时，客房总收入最高, 最高收入为 19440 元. 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 探究：在本章一开始的“种多少棵橙子树”问题中，我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式： （1）利用图象描述橙子的总产量与增种橙子的棵数之间的关系。 （2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？ 【设计意图】进一步用函数图形刻画橙子的总产量与增种橙子树之间的关系，并利用图象解决问题。当然，本题属于离散型，画函数图象时应该用点状图。引导学生在利用函数图象解决实际问题时，有时无法得到精确答案，我们可以用代数的方法辅助计算。 练习： 1.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件、销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？ 2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元. 旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团每增加一人，每人的单价就降低10元. 你能帮助算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？ （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件. 经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件. 将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 2．在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如，在测量5个大麦穗长之后，得到的数据是6.5; 5.9; 6.0; 6.7; 4.5，那么这些大麦穗的最佳近似长度可以取使函数 y＝（x﹣6.5）2+（x﹣5.9）2+（x﹣6.0）2+（x﹣6.7）2+（x﹣4.5）2 为最小值的x值．整理上式，并求出大麦穗长的最佳近似长度． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $