北师大版九年级数学下册教案：2.3确定二次函数的表达式

 

1.体会确定二次函数的表达式所需要的条件.

2.会用待定系数法确定二次函数的表达式.

1.经历根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程.

2.类比求一次函数表达式的方法,体会求二次函数表达式的思想方法.

1.能把实际问题抽象为数学问题,也能把所学知识运用于实践,加强学生的理想教育,培养学生积极参与的意识.

2.加深学生在生活中学数学,将数学知识服务于生活的学习理念,养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯.

3.激发和调动学生学习的积极性和主动性,真正实现“和谐高效、思维对话”,培养数学的应用意识.

【重点】　掌握利用待定系数法确定二次函数表达式的方法.

【难点】　运用二次函数表达式解决实际应用问题.

第课时

1.体会确定二次函数表达式所需要的条件.

2.利用两个点的坐标确定二次函数表达式.

3.通过确定二次函数表达式解决实际应用问题.

1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法.

2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.

1.引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.

2.培养学生积极参与的意识,加深学生在生活中学数学,将数学知识服务于生活的学习理念.

【重点】　利用两个点的坐标确定二次函数表达式.

【难点】　通过确定二次函数表达式解决实际应用问题.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　复习待定系数法求函数表达式的方法和二元一次方程组的解法.

导入一:

思考下面的问题:

抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,求这条抛物线的表达式.

问题

二次函数表达式y=x2+bx+c中有几个未知系数?要确定二次函数表达式需要知道图象上几个点的坐标?

【师生活动】　师引导学生回忆待定系数法求函数表达式的方法和二元一次方程组的解法.

[设计意图]　通过问题的探讨,直入正题,对旧知的复习为本节课利用待定系数法求函数表达式奠定了良好的基础.

导入二:

课件出示:生活中的抛物线图片.

生活中有很多类似抛物线形状的建筑物,如果你是设计师,你能设计出这些建筑物吗?

首先需要知道这些抛物线的表达式,我们学过几种抛物线的函数表达式?

问题

我们学过的抛物线的函数表达式有:y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,要确定二次函数的表达式,分别需要知道哪些条件?

[设计意图]　通过对建筑物的设计,首先能让学生体验当设计师的成功感,极大地激发了学生的学习兴趣.其次还能引出本节课的学习任务,一举两得.

　　[过渡语]　通过前面的学习我们知道二次函数的表达式对于探究二次函数的图象与性质非常重要,所以准确求出二次函数的表达式是解决二次函数问题的前提和关键.

一、初步探究确定二次函数表达式所需要的条件

如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象,你能求出其表达式吗?

教师引导学生回答问题:

1.图象中已知两个点的坐标:　　　　,其中　　　　是抛物线的顶点坐标. 

2.如只利用这两个点的坐标求二次函数的表达式,必须把二次函数的表达式设成　　　　的形式,此时h=　　　　,k=　　　　.再把(10,0)代入表达式就可以求出系数　　　　的值. 

【师生活动】　要求学生独立解答,代表展示,师生共同订正.

解:∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,∴设二次函数表达式为y=a(x-4)2+3,

把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a=-,

因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y=-(x-4)2+3.

【想一想】　确定二次函数的表达式需要几个条件?与同伴进行交流.

【学生活动】　学生先独立思考,然后小组交流,分类型进行探讨.

【师生活动】　师生共同总结:

(1)形如y=ax2的二次函数,因为只有一个系数a是未知的,所以只需要知道图象上一个点的坐标即可.

(2)形如y=a(x-h)2和y=ax2+k的二次函数,有两个系数是未知的,所以需要知道图象上两个点的坐标即可.

(3)形如y=a(x-h)2+k的二次函数,如果已知二次函数的顶点坐标,那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.

[设计意图]　让学生经历对二次函数的已知条件的分析过程,总结归纳出确定二次函数表达式的条件,提高了学生分析问题、解决问题的能力.

二 、二次函数表达式的确定方法

　　[过渡语]　根据以上的分析,在求二次函数表达式时,要根据题目中的具体情况,合理地选择解题方法.

(教材例1)已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求这个二次函数的表达式.

〔解析〕　由于函数图象经过点(2,3)和(-1,-3),所以直接把两个点的坐标代入y=ax2+c,得到关于a和c的二元一次方程组,解方程组得出a,c的值即可.

解:将点(2,3)和(-1,-3)的坐标分别代入表达式y=ax2+c,得

解这个方程组,得

所以,所求二次函数表达式为y=2x2-5.

【思考】　通过上面的解题过程,你能总结出求此种类型的二次函数的表达式所需要的条件、方法和步骤吗?

【学生活动】　学生先独立思考,再小组交流彼此的想法.代表总结:

对于形如:y=ax2+c,y=ax2+bx等只含有两项的二次函数表达式确定的方法和步骤.

把图象上已知的任意两个点的坐标,利用代入法代入二次函数的表达式,列出二元一次方程组求出未知系数,就可以求出二次函数的表达式.

[设计意图]　通过对例题的解答,使学生掌握了列二元一次方程组求二次函数系数的方法,同时也提高了学生具体问题具体分析的能力.

三 、用待定系数法求二次函数表达式

　　[过渡语]　通过以上的探究,我们知道了在某些时候已知图象上两个点的坐标,利用二元一次方程组就可以确定二次函数的表达式,请你利用刚才的方法,解决下面的问题.

课件出示:

【做一做】　已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式.

教师引导学生思考下面的问题:

1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点坐标是什么?

2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交点的纵坐标与系数c有什么关系?

3.二次函数表达式y=ax2+bx+c中除了系数c之外,还有几个未知系数?

【学生活动】　学生观察、思考得出结论,互相订正.

【教师点评】　此题隐含了c=1的结论,需要同学们去发现,除了系数c之外,只有两个未知系数,函数图象还已知两个点的坐标,可以求出它的表达式.

解:因为二次函数图象与y轴交点的纵坐标为1,所以c=1.

设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(2,5)和(-2,13)代入y=ax2+bx+1,得解得

所以所求二次函数的表达式为y=2x2-2x+1.

【思考】　通过上面的探究过程,你能确定出求此种类型的二次函数的表达式所需要的条件吗?

【学生活动】　学生先独立思考,再小组交流彼此的想法.代表总结:

对于形如y=ax2+bx+c的二次函数,一般会给出函数图象与y轴的交点坐标,实际就等于给出了c的值.实际上还是只有两个未知系数,其确定表达式的条件是:只要再知道图象上任意两个点的坐标,利用代入法列二元一次方程组求出未知系数,就可以求出二次函数的表达式.

[设计意图]　通过对“做一做”的探究,使学生进一步明确了利用待定系数法确定二次函数表达式的方法和步骤,为下面规律的总结打下了良好的基础.

四 、归纳确定二次函数表达式所需要的条件

　　[过渡语]　我们已经探究了确定不同类型的二次函数表达式所需要的条件,你能对所有确定二次函数表达式所需要的条件进行总结吗?