2.3 确定二次函数的表达式课件2023-2024学年北师大版数学九年级下册

2.3 确定二次函数的表达式 第二章 二次函数 1. 一次函数 y = kx + b (k≠0)，反比例函数 (k≠0) 分别有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 待定系数法 (1) 设：表达式 (2) 代：坐标代入 (3) 解：方程(组) (4) 还原：写出解析式 2 个待定系数，需要 2 个点坐标 1 个待定系数，需要 1 个点坐标 想一想 二次函数的表达式有几种形式？类比猜想每一种需要几个点坐标可以确定表达式？ 二次函数 y＝ax2＋bx y＝ax2 y＝ax2＋c y＝ax2＋bx＋c y = a(x - h)2 + k 顶点坐标 + 另一点坐标 两个点坐标 两个点坐标 一个点坐标 三个点坐标 一名学生推铅球时，铅球行进高度 y (m) 与水平距离 x (m)之间的关系如图所示，其中 (4，3) 为图象的顶点，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗? 1 顶点法求二次函数的表达式 合作探究 分析：观察图象，已知顶点坐标为(4，3)，则设抛物线为顶点式 y = a(x - h)2 + k . 再在图象找一点坐标(10，0). 1.设：表达式 2.代： 坐标代入 3.解：方程 4.还原： 写出表达式 解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 + k， 把顶点 (4，3) 代入 y = a(x - h)2 + k 得 y = a(x - 4)2 + 3， 再把点 (10，0) 代入上式得 a(10 - 4)2 + 3 = 0， 解得 a = -. ∴二次函数的表达式是 y = -(x - 4)2 + 3或 y = - x2 + x + . 1. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y = a(x - 8)2 + 9. 又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1= a(0-8)2+9. 解得 ∴所求的二次函数的表达式是 针对训练 ∴ 　　例1 已知二次函数 y＝ax2 ＋ c 的图象经过点 (2，3) 和 (－1，－3)，求这个二次函数的表达式． 解：∵该图象经过点 (2，3) 和 (－1，－3)， 3 = 4a + c， －3 = a + c， ∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－5. a = 2， c=－5. 解得 { 关于 y 轴对称 { 特殊条件的二次函数的表达式 2 　　2. 已知二次函数 y＝ax2 ＋ bx 的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 解：∵该图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)， 图象经过 原点 8 = 4a - 2b， 5 = a - b. ∴ 解得 ∴ y = -x2 - 6x. { { a = -1， b = -6. 针对训练 做一做 已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点 (2， 5) 和(-2，13)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，因此，可以设函数表达式为 y = ax2 + bx + 1. ∵该图象经过点 (2， 5) 和 (-2，13)， 13 = 4a - 2b + 1. 5 = 4a + 2b + 1， a = 2， 解得 b = -2， ∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－2x + 1. 想一想 在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式? 二次函数 y = ax2+ bx + c 可化成：y = a(x - h)2 + k，顶点是 (h，k). 如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数 y = ax2+ bx + c 中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式. 3 已知二次函数 y = ax2+ bx + c 图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗? 一般式法求二次函数的表达式 例2 已知二次函数的图象经过点(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 合作探究 1.设：一般式 2.代： 坐标代入 3.解： 方程(组) 解： 设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c， 把 (－1，10)，(1，4)，(2，7) 代入 y = ax2 + bx + c 得 a = 2， c = 5. 解得 b = -3， 10 = a - b + c， 7