北师大版九年级数学下册教案：2.1二次函数
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1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.
2.让学生学习了二次函数的定义后,能够表示简单变量之间的二次函数关系.
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
1.从学生感兴趣的问题入手,能使学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
2.把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
3.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养大家的合作意识.
【重点】
1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
【难点】 列二次函数关系式表示简单变量之间的关系,并能利用尝试求值的方法解决实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.
导入一:
课件出示:
观察下面的函数关系式:
(1)y=2x+5;(2)y=x2+5.
这两个函数关系式有什么相同点和不同点?
【师生活动】 复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.
【学生活动】 学生独立思考后小组交流,观察新函数的特征,尝试给新函数下定义.
[设计意图] 通过与一次函数的对比,让学生初步感知二次函数的特征,让学生类比一次函数的概念构建出二次函数的概念.
导入二:
课件出示:
赵州桥,又称大石桥、安济桥,是位于河北省赵县城南五里洨河上的一座石拱桥,是我国古代石拱桥的杰出代表,其设计者是隋代杰出的工匠李春,建造于公元605年.赵州桥的设计构思和工艺的精巧,在我国古桥中是首屈一指的,据世界桥梁的考证,像这样的敞肩拱桥,欧洲到19世纪中期才出现,比我国晚了一千二百多年,赵州桥的雕刻艺术,包括栏板、望柱和锁口石等,其上狮象龙兽形态逼真,琢工的精致秀丽,不愧为文物宝库中的艺术珍品.
问题
请同学们观察赵州桥的桥拱的形状,它的形状可以近似地看成一种函数图象,这和我们之前所学的函数图象一样吗?
[设计意图] 通过视频,让学生再次了解赵州桥,在对学生进行爱国主义教育的同时,引出本节课的课题,激发了学生的好奇心和探求新知的欲望.
[过渡语] 通过以前的学习,我们已经了解了一些函数,如:正比例函数、一次函数以及反比例函数,今天我们再来探究一种新的函数.
一、体会函数的模型思想
结合课本给出的引例、做一做和想一想中的问题,设出未知数,列出关于x的函数关系式.
课件出示:
【引例】 某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
师要求同学们认真分析题目,回答以下问题:
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
【学生活动】 独立思考,代表回答:
(1)自变量:橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等;因变量:橙子的个数、橙子的质量等.
(2)如果设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
(3)果园橙子的总产量y与x之间的关系式为y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60000.
【师生活动】 观察关系式y=-5x2+100x+60000中的y是不是x的函数,并对比所学的函数,感受它们的相同点和不同点:根据函数的定义,y是x的函数,自变量x的最高次数是2,所以通过类比,猜想此函数为二次函数.
[设计意图] 利用学生熟悉的身边情境,小梯度地设计问题,逐步引导学生分析题目,列出关系式,提高学生分析问题的能力,同时培养学生的建模能力.
[过渡语] 银行的储蓄利率是随时间变化的,也就是说,利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
【做一做】
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.
【师生活动】 师生共同回忆与存款有关的知识:
1.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.
2.利息=本金×利率×期数(时间).
3.本息和=本金+利息.
【学生活动】 根据上面的提示,独立完成后,小组交流,得出关系式,代表展示.
解:y=100(x+1)2=100x2+200x+100.
观察y=100x2+200x+100与y=-5x2+100x+60000的相同点.
【学生活动】 通过观察,寻找它们的相同点,并与同伴相互交流,统一答案.
【教师点评】 自变量的最高次数都是2.
[设计意图] 通过对生活中熟悉情境的分析,让学生初步感知函数的模型思想,尝试归纳二次函数的概念.
[过渡语] 通过下面几何背景的问题和代数背景的问题,让我们从丰富的现实背景中再次体会函数模型的意义.
【想一想】
问题1
已知矩形的周长为40 cm,它的面积可能是100 cm2吗?可能是75 cm2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?
【师生活动】 师生先复习一元二次方程及其解法,然后由学生先独立解决,再小组交流,最后代表展示.
解:(1)设其中一边长为x cm,则x
=-x2+20x=100,
解得x1=x2=10.
x=-x2+20x=75,
解得x1=5,x2=15.
这个矩形的面积与其一边长的关系为S=x=-x2+20x.
【教师点评】 只要和为20的两数都可以作为该矩形的长和宽,所以其面积还可以为64,51,36,….
问题2
两数的和是20,设其中一个数是x,你能写出这两数之积y的表达式吗?
【学生活动】 学生独立解答,同伴交流.
解:y=x(20-x)=-x2+20x.
[设计意图] 在几何和代数的背景中再次体会函数的模型,为下一步归纳总结二次函数的定义奠定良好的基础.
二、二次函数的定义
【对比观察】 让学生再一次观察三个式子的共同点:(1)y=-5x2+100x+60000;(2)y=100x2+200x+100;(3)y=-x2+20x.
【学生活动】 观察思考后,小组交流想法,组长发言:
共同特点是:①这些式子都是最高次数为2的函数;②表达式右边都是关于x的整式.
【教师引导】 类比一次函数与反比例函数的表达式,归纳出二次函数的定义及一般形式.
【师生总结】 二次函数的定义.
一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.