北师大版九年级数学下册教案：1.3三角函数的计算
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1.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程,进一步体会三角函数的意义.
2.能够运用计算器进行有关三角函数的计算.
3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.
1.借助计算器,解决含三角函数的实际问题,提高用现代工具解决实际问题的能力.
2.发现实际问题中的边角关系,提高学生有条理地思考和表达的能力.
1.通过积极参与数学活动,体会解决问题后的快乐.
2.感悟计算器的计算功能和三角函数的应用价值.
【重点】
1.用计算器由已知锐角求三角函数值.
2.能够用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.
【难点】 用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】
1.科学计算器.
2.复习三角函数的计算方法.
导入一:
同学们小的时候都玩过跷跷板吧?如图所示,跷跷板AB的一端B碰到地面时,AB与地面的夹角为15°,且OA=OB=3 m.你能求出此时另一端A离地面的高度吗?
【问题】 要求A离地面的高度,实际上就是求直角三角形的直角边,所以只要求出sin B的值即可,但是15°不是特殊角怎么办呢?可以使用计算器进行解决.
[设计意图] 用多媒体演示学生熟悉的现实生活中的问题,进而引出非特殊角的三角函数值,自然地引出本节课的课题.
导入二:
如图所示,已知一商场自动扶梯的长l为13 m,高度h为5 m,自动扶梯与地面所成的夹角为θ,你能求出夹角θ的度数吗?
【教师活动】 要求学生注意观察夹角θ,l,h三者之间的关系,确定夹角θ的三角函数.
【学生活动】 通过观察发现sin θ=
=
,由于不是特殊角的三角函数值,尝试使用科学计算器求夹角θ的方法.
[设计意图] 通过对非特殊角的三角函数值的分析,让学生初步感知非特殊角的三角函数的计算方法——使用科学计算器,在引出课题的同时,又引导学生初步掌握了利用三角函数值求角度的方法.
[过渡语] 日常生活中我们经常会遇到含有角度的运算,并且有些角度并非我们上节课所学的30°,45°,60°角等特殊角,对于非特殊角我们如何求出它们的三角函数值呢?
一、用计算器计算非特殊角的三角函数值
课件出示:
如图所示,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少?(结果精确到0.01 m)
教师引导学生回答:
1.缆车垂直上升的距离是线段 .
2.本题的已知条件是 ,需要求出的条件是 .
3.这三个量之间的关系是 .
学生思考并反馈:
1.缆车垂直上升的距离是线段BC.
2.已知条件是∠α=16°,AB=200 m,需要求出的是线段BC的长.
3.这三个量之间的关系为sin α=
.
根据学生分析,师课件出示解题过程:
解:在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200 m,
根据正弦的定义,得sin 16°==
,
∴BC=ABsin 16°=200·sin 16°.
想一想:200·sin 16°中的“sin 16°”是多少呢?我们需借助于科学计算器求出这个锐角的三角函数值,怎样用科学计算器求三角函数值呢?用科学计算器求三角函数值时,需要用到sin,cos键和tan键.
【教师活动】 例如,求sin 16°,cos 72°38'25″,tan 85°的按键顺序如下表所示.
(课件演示操作步骤)
【学生活动】 同学们用自己的计算器按上述按键顺序计算sin 16°,cos 72°38'25″,tan 85°.看显示的结果是否和表中显示的结果相同.
【教师强调】
1.不同的计算器按键方式可能不同,所以同学们可以利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤,也可以和其他同学互相交流其他计算器计算三角函数值的方法.
2.用计算器求三角函数值时,计算结果一般精确到万分位.
【做一做】 下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.
生得出:BC=200sin 16°≈55.12(m).
[设计意图] 引导学生利用计算器求三角函数值的具体步骤,并注意在使用计算器求值的过程中出现的问题.
[知识拓展] 用计算器求三角函数值的按键顺序:
第一步:按相应的三角函数键,即按下“sin,cos或tan”键;
第二步:按下角度;
第三步:按“=”键得到相应的三角函数值.
二、用计算器计算非特殊角的三角函数值的运用
[过渡语] 看来同学们已经能熟练地用计算器计算一个锐角的三角函数值了.下面我们运用计算器辅助解决一个含有三角函数值计算的实际问题.
课件出示:
【议一议】 在本节一开始的问题中,当缆车继续由点B到达点D时,它又走过了200 m,缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°,由此你还能算出什么?
【教师活动】 留出时间和空间让学生思考问题如何解决,不要代替学生思考,进而培养学生的思维能力.
【学生活动】 生独立思考后,小组交流,代表发言:
思路一
缆车从A→B→D上升的垂直高度:
在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200 m,
所以缆车上升的垂直高度DE=BDsin 42°=200sin 42°≈133.83(m),
所以缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE≈55.12+133.83=188.95(m).
思路二
缆车从A→B→D移动的水平距离:
在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200 m,AC=ABcos 16°≈192.25(m).
在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200 m,BE=BD·cos 42°≈148.63(m).
所以缆车从A→B→D水平移动的距离为AC+BE≈192.25+148.63=340.88(m).
[设计意图] 让学生学会从数学角度提出问题、分析问题,并能综合运用所学知识解决问题,发展学生的应用意识,让学生进一步体会在实际问题中用计算器求锐角三角函数值的过程.
三、利用计算器根据三角函数值求锐角的度数