专题01 勾股定理证明及应用-简单数学之八年级下册同步讲练

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专题01 勾股定理证明及应用 勾股定理：直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方。 勾股定理的证明：勾股定理的证明主要采用面积法。 勾股定理应用：分成两个方面： 1、计算：利用勾股定理构造方程求解几何量或解决实际问题； 2、用于几何证明 初中阶段勾股定理的重要作用在于应用它来构造方程，以解决几何问题。同时，数学史上异彩纷呈的证明方法为勾股定理证明问题的命制提供了大量资源。 例1：勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感。他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证： .[来源:学科网ZXXK] 证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF， 则DF=EC= ， ∵ ，[来源:学*科*网Z*X*X*K] 又∵ ， ∴ ， ∴ 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：[来源:学科网] 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°. 求证： . 证明：连结 ， ∵ ， 又∵ ， ∴ . ∴ . 例2：正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点． （1）在图①中，画一个面积为10的正方形； （2）在图②、③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数． 例3：拖拉机在行驶的过程中的噪音会影响周围环境，某拖拉机位于A学校正南方向130m的B处，正以120m/min的速度沿公路BC方向行驶，如图所示，已知A学校到BC的距离AD=50m， （1）求拖拉机从B处行驶到D处经过多长时间？ （2）如果在距拖拉机100m的圆形区域内都将受噪音影响，那么A学校受到拖拉机噪音影响的时间有多长？（结果精确到0.1， ≈1.732） 分析：（1）在Rt△ABD中，已知斜边和一直角边，即可得出第三边，利用拖拉机的速度已知，即可得出拖拉机从B处行驶到D处所经过长时间； （2）假设A学校从P点开始受到拖拉机的影响，到Q点结束，根据题意在图中画出图形，可知，△ADP和△ADQ全等，A学校在拖拉机从P点到Q点均受影响，即得出PQ两点的距离，便可求出A学校受拖拉机影响的时间． 1．小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为( ) A．2 m B．2.5 m C．2.25 m D．3 m 2．一艘轮船以 16 海里∕时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里∕时从港口 A 出发向东南方向航行．离开港口 1 小时后，两船相距（ ） A．12 海里 B．16 海里 C．20 海里 D．28 海里 3．如图AB=AC,则数轴上点C所表示的数为（ ） A．+1 B．-1 C．－+1 D．－－1[来源:学科网ZXXK] 4．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5CM，BC=10CM，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过点P作PF⊥AD，交BC于点F，将纸片折叠，使点P与点E重合，折痕与PF交于点Q，则PQ的长是( ). A. cm B.3cm C.2cm D. cm 5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝28，c＝20，则Rt△ABC的面积是____． 6．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式______． 7．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是_____． 8．如图，有一块直角三角形纸片， ，AC=12cm，BC=5cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为__________cm. 9．如图，一束光线从轴上点出发，经过轴上点反射后经过点，则光线从点到点经过的路线长是________． 10.将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转能与△CBP′重合，若BP=4，则PP′=_________ 11．如图，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是___________． 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝30°，AD⊥AB，垂足为A，CD＝1 cm，求A