2019届北师大版高考数学（文）二轮复习 数学文化面面观 (共6份打包)

高考新动向·数学文化面面观（一） 三角函数及解三角形中的数学文化 　　三角函数是三角学的重要组成部分,是刻画周期现象的一种非常重要的数学模型,是高中数学中很重要的一类函数,解三角形也是非常重要的数学内容,这些内容在高考中都占有很大的比例,常常出现数学文化的背影. 1.(2017·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割 圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任 意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精 确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆 术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S内, S内=_______________.  【解析】如图,因为是单位圆,所以OA=1,因为六边形 ABCDEF是正六边形,所以△OAB是正三角形,所以AB=1, 过点O作OG⊥AB于点G,所以OG=OAsin 60°= ,所以 正六边形的面积为6S△OAB=6× ×AB·OG= . 答案: 【名师点睛】本题粗略看起来文字量大,其本质为将正六边形分割为6个等边三角形,确定6个等边三角形的面积,其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要,考生面对这方面题目时应多加耐心,仔细分析题目中所描述问题的本质,结合所学进行有目的的求解. 2.(2015·陕西高考)如图,某港口一天6时到18时的水 深变化曲线近似满足函数y=3sin +k,据此函数可 知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 (　　) A.5 B.6 C.8 D.10 【解题指南】本题考查由y=Asin(ωx+φ)+k的部分图象确定函数的最大值,可得ymax=3+k,ymin=k-3,整理可求最大值. 【解析】选C.不妨设水深的最大值为M,由题意结合函数图象可得3+k=M　① k-3=2　 ② 解之得M=8. 3.(2018·西安八校联考)三世纪中期,魏晋时期的数学 家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和 完善的算法.所谓割术,就是用圆内接正多边形的面积 去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样 的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正 3 072边形,如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序 框图,若输出的n=24,则p的值可以是 (　　) (参考数据:sin 15°≈0.258 8,sin 7.5°≈0.130 5, sin 3.75°≈0.065 4) A.2.6 B.3 C.3.1 D.3.14 【解析】选C.模拟执行程序,可得:n=6,S=3sin 60°= ,不满足条件S≥p,n=12,S=6×sin 30°=3,不满足 条件S≥p,n=24,S=12×sin 15°≈12×0.258 8= 3.105 6,满足条件S≥p,退出循环,输出n的值为24.故 p=3.1. 4.(2018·江苏高考)某农场有一块农田,如图所示,它的 边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现 规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形 状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均 在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ. (1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定 sin θ的取值范围. (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜, 且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当 θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 【解析】(1)设PO的延长线交MN于H,则PH⊥MN,所以 OH=10. 过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ, 故OE=40cos θ,EC=40sin θ, 则矩形ABCD的面积为2×40cos θ(40sin θ+10)= 800(4sin θcosθ+cos θ), △CDP的面积为2× ×40cos θ(40-40sin θ)= 1 600(cos θ-sin θcos θ). 过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则 GK=KN=10. 令∠GOK=θ0,则sin θ0= ,θ0∈ . 当θ∈ 时,才能作出满足条件的矩形ABCD, 所以sin θ的取值范围是 . 答:矩形ABCD的面积为800(4sin θcos θ+cos θ)平 方米,△CDP的面积为1 600(cos θ-sin θcos θ), sin θ的取值范围是 . (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3, 设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值 为3k(k>0), 则年总产值为4k×800(4sin θcos θ+cos θ)+3k× 1 600(cos θ-sin θcos θ)=8 000k(sin