7.1.2 全概率公式（培优教学课件）数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦全概率公式及贝叶斯公式，通过摸球问题导入，回顾条件概率、乘法公式等旧知，搭建“旧知—问题—新知”的学习支架，引导学生自然过渡到公式探究。 其亮点是以问题情境驱动，结合餐厅选择、车床加工零件等实例，通过数学抽象与数学运算核心素养，引导学生掌握公式应用步骤。课堂小结系统梳理公式及解题步骤，助力学生提升逻辑推理能力，为教师提供清晰教学路径。

7.1条件概率与全概率公式 7.1.2全概率公式 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册·高二 章节导读 条件概率与全概率公式 条件概率 全概率公式 随机变量 离散型随机变量 分布列 均值和方差 二项分布 超几何分布 连续型随机变量 正态分布 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握全概率公式，提升数学抽象的核心素养 了解贝叶斯公式，提升数学抽象的核心素养 结合古典概型，会利用全概率公式及贝叶斯公式计算概率，提升数学运算的核心素养. 知识回顾 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率，即 由条件概率公式可得 1. 条件概率： 2. 概率的乘法公式： 3. 条件概率的性质： 设P(A)>0, 则 (1)P(Ω|A)=1; (2)如果B和C是两个互斥事件, 则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A); (3)设和B是两个对立事件, 则P(|A)=1-P(B|A). 设A和B是两个独立事件, 则P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A). 新知导入 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.下面，再看一个求复杂事件概率的问题. 问题1 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 ，那么第2次摸到红球的概率是多大? 如何计算这个概率呢? 下面我们给出严格的推导. 因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 . 但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响. 新知探究 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1, 2. 事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2. P(R2|R1) P(B2|R1) P(R2|B1) P(B2|B1) 利用概率的加法公式和乘法公式，得 新知探究 上述过程采用的方法是: 按照某种标准:将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 问题2 按照某种标准,将一个复杂事件表示为多个互斥事件的并, 根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？ 设A1 , A2 , ...., An是一组两两互斥的事件, 加法公式 乘法公式 定义新知 全概率公式 　　一般地，设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1, 2, …, n，则对任意的事件 ，有 我们称上面的公式为全概率公式． 全概率公式是概率论中最基本的公式之一. ····· ····· 新知探究 对公式的理解： ① 某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2，,…,n)(Ai 互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是BAi(i=1,2，,…,n)发生概率的总和。 ③可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”. ②每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起BAi(i=1,2,…,n)发生概率的总和，即全概率公式. 追问 根据全概率公式的定义，它的使用条件有哪些？ ②A1∪A2∪…∪An=Ω； ③P(Ai)>0, 且 . ①A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件； 典例分析 例4 某学校有 A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 典例分析 设A1＝“第1天去A餐厅”, B1＝“第1天取B餐厅”, A2＝“第2天去A餐厅”, 则 解： 反思 根据本例是否可以归纳利用全概率公式求概率的方法步骤？ 设事件 写概率 代公式 新知探究 1.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因； 2.求概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai ))； 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ). 全概率公式求复杂事件概率的步骤： 典例分析 例5 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率. 分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能. 设Ai =“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3)，B=“任取一零件为次品”， 如图所示，可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率. 典例分析 例5 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率. 解：设B＝“任取一个零件为次品”, Ai＝“零件为第i台车床加工” (i＝1, 2, 3), 则 典例分析 例5 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率. (2) “如果取到得零件是次品,计算它是第i(i =1,2,3)台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率. 新知探究 问题3 例5中P(Ai)，P(Ai|B)的实际意义是什么? P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率. 当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率. 如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 就分别是第1, 2, 3台车床操作员应承担的份额. 新知探究 将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式． *贝叶斯公式： 设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai )>0，i=1, 2, …, n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有 贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T.Bayes1702-1761)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系． 典例分析 例6 在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的. (1) 分别求接收的信号为0和1的概率； (2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率. 分析：设A=“发送的信号为0”, B=“接受到的信号为0”. 为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用下图直观表示. 发送0(A) 发送1() 接收0(B) 接收1() 典例分析 例6 在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的. (1) 分别求接收的信号为0和1的概率； (2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率. 解: 巩固练习 课本52页 1. 现有12道四选一 的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25. 张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率. 解： 设＝“选到有思路的题”, ＝“选到没有思路的题”，B＝“选到的题做对”, 则有：，P ()=，P()= 所以： = 巩固练习 课本52页 2. 两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%. 将两批产品混合，从混合产品中任取1件. (1) 求这件产品是合格品的概率； (2) 已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率. 解：设A＝“取到合格品”, Bi＝“取到的产品来自第i批”(i＝1, 2), 则 全概率公式及其应用 题型一 题型探究 【例1】 某学校开展了共青团知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中,甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率为 ，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是 . (1)若规定甲、乙、丙三名同学都回答这个问题，求至少有1名同学回答正确这个问 题的概率； [解析] 设乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为 ， 则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得 ， 乙、丙两人都回答正确的概率是，解得 ， 所以所求概率 . 全概率公式及其应用 题型一 题型探究 (2)若规定甲、乙、丙三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率 分别为,, ，求这个问题被答对的概率. [解析] 记事件为“甲抢到答题机会”，事件 为“乙抢到答题机会”， 事件为“丙抢到答题机会”，事件 为“这个问题被答对”， 则，， ， 且，， ， 由全概率公式可得 . 故这个问题被答对的概率为 . 全概率公式及其应用 题型一 题型探究 解题感悟 运用全概率公式的一般步骤 （1）求出样本空间 <m></m> 的一个划分 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； （2）求 <m></m> ； （3）求 <m></m> ； （4）求目标事件的概率 <m></m> . 贝叶斯公式及其应用 题型二 题型探究 【例2】如图，小张从家到公司上班总共有,, 三条路可以走，用 表示事件“选择道路”，, 2,3， ，，每天 上述三条路不拥堵的概率分别为，， .假设 遇到拥堵就会迟到. (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ [解析] 由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件 为“小张到公司不迟到”，则 . (2)已知小张到达公司未迟到，则他选择道路 <m></m> 的概率是多少？（保留两位小数） [解析] ， 所以已知小张到达公司未迟到，则他选择道路 的概率约为0.28. 贝叶斯公式及其应用 题型二 题型探究 提分笔记 若随机试验可以分两个阶段进行，且第一阶段的各试验的具体结果未知，那么： （1）若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）若第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，则一般用贝叶斯公式.熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题正确高效. 课堂达标 1. 已知 ， ， ，则 ( @10@ ) A. B. C. D. A [解析] . 2. 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.该射手任取一支枪射击，中靶的概率是_____. 0.7 [解析] 设 表示该射手取的枪已校正， 表示射击中靶， 则 ， ， ， ， 由全概率公式得中靶的概率 . 课堂达标 3. 某球员在球场上能够胜任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋四个位置，根据以往数据，他担任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋出场的概率分别为0.2， ， ， ，当他担任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋时，球队输球的概率依次为0.4， ， ， 当他参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率为( @12@ ) A. B. C. D. C [解析] 设 表示他担任控球后卫， 表示他担任小前锋， 表示他担任大前锋， 表示他担任中锋， 表示球队某场比赛输球， 则 . 故选C. 课堂达标 4. 已知一批产品的次品率为 ，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为是次品的概率为0.02，而次品被误认为是正品的概率为 ，通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率约为_______.（精确到 ） 0.998 [解析] 设 表示“产品确实是正品”， 表示“通过检验产品被认为是正品”， 则 表示“产品是次品”， 由全概率公式得 . 由贝叶斯公式得 . 课堂小结 1. 全概率公式： 2. 贝叶斯公式： 感谢聆听! $