2019年春沪科版九年级下学期数学学案：24.5 三角形的内切圆

24.5　三角形的内切圆 学前温故 1．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形． 2．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 新课早知 1．与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形． 2．三角形的内心到三角形的三边距离相等． 三角形的内切圆 【例1】如图(1)，在△ABC中，⊙I是△ABC的内切圆，和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F.试猜想∠FDE与∠A的关系，并说明理由． 分析：∠FDE是圆周角，∠FIE是同弧所对的圆心角，要确定∠FDE与∠A的关系，可首先确定∠FIE与∠A的关系． 解：∠FDE＝90°－∠A.理由如下： 如图(2)，连接IE、IF. ∵CA、AB分别与圆I相切于点E、F， ∴IE⊥CA、IF⊥AB. ∴∠AEI＝∠AFI＝90°. ∴∠FIE＝360°－90°－90°－∠A＝180°－∠A. ∵∠FIE＝2∠FDE＝180°－∠A， ∴∠FDE＝90°－∠A. 点拨：连接圆心和切点是常作的辅助线． 【例2】 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，它的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，切点分别为D、E、F. (1)试用a、b、c表示内切圆的半径r； (2)若a＝6，b＝8，求此三角形内切圆的面积．(用π表示) 分析：(1)切线长定理的灵活运用是解决此题的关键；(2)首先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据(1)中得出的结论求内切圆的半径，最后利用面积公式计算面积． 解：(1)连接OF、OE，如图②. 在Rt△ABC中， ∵AC、BC分别是⊙O的切线， ∴OF⊥AC，OE⊥BC. 又∠C＝90°，OE＝OF＝r， ∴四边形OECF是正方形． ∴CF＝CE＝r，AD＝AF＝b－r，BD＝BE＝a－r. ∴c＝AD＋BD＝b－r＋a－r. ∴r＝. (2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝6，b＝8， ∴c＝＝10. ∴r＝＝2. ＝ ∴S内切圆＝π×22＝4π. 点拨：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，这是计算直角三角形内切圆半径的常用方法． 1．等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的(　　)． A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍 答案：C 2．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠