3.4.1 三角函数的周期性（课件）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修2）

第3章—— 三角函数 3．4　函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象与性质 3．4.1　三角函数的周期性 [学习目标] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.理解函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x都是周期函数，都存在最小正周期. 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期． 1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 栏目索引 CONTENTS PAGE 1．观察单位圆中的三角函数线知正弦值每相隔2π个单位重复出现，其理论依据是什么？ 答　诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现． [知识链接] 预习导学 挑战自我，点点落实 ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 2．设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x可以怎样表示？ 答　f(x＋2kπ)＝f(x)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ时，函数值重复出现． ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个 ，使得当x取定义域内的 时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． [预习导引] 非零常数T 每一个值 f(x＋T)＝f(x) ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 ． 最小正周期 ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 2．正弦函数、余弦函数的周期性 由sin(x＋2kπ)＝ ，cos(x＋2kπ)＝ 知y＝sin x与y＝cos x都是 函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 . sin x cos x 周期 2π ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 3．y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的最小正周期T＝ . ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 例1　求下列函数的周期： 要点一　求正弦、余弦函数的周期 函数f(x)＝sin z的最小正周期是2π， 就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π， 函数f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得， 课堂讲义 重点难点，个个击破 ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 (2)y＝|sin 2x|(x∈R)． ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 规律方法　(1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“x＋T”时函数值重复出现，则可得T是函数的一个周期． ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 跟踪演练1　求下列函数的最小正周期： 解　定义法：令u＝2x，则cos 2x＝cos u是周期函数，且最小正周期为2π. ∴cos(u＋2π)＝cos u，则cos(2x＋2π)＝cos 2x， 即cos[2(x＋π)]＝cos 2x.∴cos 2x的最小正周期为π. ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 要点二　正弦、余弦函数周期性的应用 解　∵f(x)的最小正周期是π， ∵f(x)是R上的偶函数， ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 规律方法　解决此类问题关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内． ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 1 2 3 4 C 当堂检测 当堂训练，体验成功 ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 1 2 3 4 D ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 1 2 3 4 ‹#› 3.1.1　角的概念的推广 1 2 3 4 答案