1.2.1 平面的基本性质与推论（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教B版必修2）

一、基础达标 1.已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是(　　) ①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α. A.0 B.1 C.2 D.3 答案　A 解析　 ①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误.[来源:学科网] 2.在下列命题中，不是公理的是(　　) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案　A 解析　A.不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B.是平面的基本性质2； C.是平面的基本性质2；D.是平面的基本性质3. 3.已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　) A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C.A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D.A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合 答案　C 解析　∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β. 由基本性质可知α∩β为经过A的一条直线而不是A. 故α∩β＝A的写法错误. 4.空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中(　　) A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线 答案　B 解析　如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线. 5.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l. 答案　∈ 解析　因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l. 6.平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________. 答案　直线PR 解析　如图，MN⊂γ，R∈MN， ∴R∈γ. 又R∈l，l⊂β，∴R∈β. 又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR. 7.已知△ABC在平面α外，直线AB∩α＝P，直线AC∩α＝R，直线BC∩α＝Q，如图所示.求证：P，Q，R三点共线. 证明　∵直线AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. 则由基本性质3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上. 故P，Q，R三点共线于平面ABC与平面α的交线. 二、能力提升 8.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是(　　) A.C1，M，O三点共线 B.C1，M，O，C四点共面 C.C1，O，A，M四点共面 D.D1，D，O，M四点共面 答案　D 解析　在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O， A1C∩平面C1BD＝M. ∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上， 即C1，M，O三点共线， ∴选项A，B，C均正确，D不正确. 9.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(　　) A.2对B.3对C.6对D.12对 答案　C 解析　如图所示，在长方体AC1中，与对角线AC1成异面直线位置关系的是：A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以组成6对异面直线. 10.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 答案　D 解析　构造如图所示的正方体ABCD—A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1.当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D. 11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点， [来源:学_科_网] 求证：(1)E，F，D1，C四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点. 证明　(1)分别连接EF，A1B，D1C. ∵E，F分别是AB和AA1的中点， ∴EF綊A1B.又A1D1綊B1C1綊BC， ∴四边形A1D1CB为平行四边形. ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1. ∴EF与CD1确定一个平面， ∴E，F，D1，C四点共面. (2)∵EF綊CD1，∴直线D1F和CE必相交.设D1F∩CE＝P， 如图. ∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F， ∴P