1.1.1 简单旋转体（课后作业）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（北师大版必修2）

基础过关 1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是(　　) A．圆柱 B．圆台 C．球体 D．圆锥 解析　圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形．只有圆锥可以截出三角形，故选D. 答案　D 2．有下列四种说法：[来源:Zxxk.Com] ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体； ②以直角三角形的一边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥； ③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交； ④圆锥的底面是圆面，侧面是个曲面． 其中错误的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，故②错；圆台是由圆锥截得的，故其任意两条母线延长后一定交于一点，故③错；④是圆锥的性质，故④正确． 答案　C 3．一平面截球O得到半径为 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则球的半径是(　　) A．9 cm B．3 cm C．1 cm D．2 cm 解析　设球的半径为R.根据勾股定理， 有R＝＝3(cm)． 答案　B 4．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________． 答案　圆锥 5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________． 解析　如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，∴AB＝2.＝AB2，∴ 答案　2 6．判断图中所示的几何体是不是圆台，为什么？ 解　(1)符合圆台的结构特征，是圆台；(2)不是圆台，因为它的上、下两个底面不平行；(3)是由两个圆台组合而成的，不符合圆台的结构特征，不是圆台． 7．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求： (1)圆台的高；[来源:学。科。网] (2)截得此圆台的圆锥的母线长． 解　(1)如图圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，点O1、O分别为上、下底面中心，连接OO1.延长BA，CD，OO1，交于点S，过点A作AM⊥BC于点M.由已知可得上底面半径O1A＝ cm. ＝3＝5 cm，腰长为12 cm，所以高AM＝＝2 cm，下底面半径OB＝ (2)设截得此圆台的圆锥SO的母线长为l cm，则由△SAO1∽△SBO可得，，所以l＝20 cm，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.＝ 能力提升 8．向高为H的水瓶中以恒定的速度注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是(　　)[来源:学科网ZXXK] 解析　令h＝，由图像知此时注水体积大于几何体体积的一半，所以B正确． 答案　B 9．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是(　　) A．4 B．3 C．2 D．0.5 解析　如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝. ，r2＝2 ∵球心到两个截面的距离d1＝， ，d2＝ ∴d1－d2＝＝1，∴R2＝9，∴R＝3.－ 答案　B 10．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm. 解析　如图所示，在Rt△ABO中， AB＝20 cm，A＝30°， 所以AO＝AB·cos 30°＝20× ＝10 cm. 答案　10 11．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________． 解析　由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝＝12.＝5，所以d＝ 答案　12 12．如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且能在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形，使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．AD应取多长？ 解　如图是圆台的轴截面，设圆台下底面圆的半径为R，AD＝x，则OD＝72－x， [来源:学§科§网] 由题意，知圆台下底面的周长等于弧AB的长，即 2πR＝×72.① 又∵∠AOB＝60°， ∴∠AOE＝30°，∴OE＝2R，即72－x＝3R.②[来源:Z_xx_k.Com] 联立①②，解得 即AD应取36 cm. 13．(选做题)如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求： (1)绳子的最短长度的平方f(x)； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值． 解　将圆锥的侧面沿SA