1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（课后作业）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教A版必修2）

基础过关 1．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．8 解析　圆台的轴截面如图，由题意知，l＝(r＋R)， S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π， ∴l＝4. 答案　C 2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　) A．4π B．3π C．2π D．π[来源:Z#xx#k.Com] 解析　底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C． 答案　C 3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于(　　) A．6 B．6π C．3ππ D．6 解析　∵圆台的母线长为，＝ ∴S圆台侧＝π(1＋2)·π.＝3 答案　C 4．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3. 解析　依题意得，该四棱锥底面平行四边形的一边长为2，该边上的高为1. 又依据正视图知该四棱锥高为3. ∴V四棱锥＝×2×1×3＝2(m3)． S·h＝ 答案　2 5．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________． 解析　S圆柱＝2·ππa2，·a＝2＋2π· S圆锥＝ππa2，·a＝2＋π· ∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1. 答案　2∶1 6．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________． 解析　设新的底面半径为r，则有.×π×52×4＋π×22×8，解得r＝×πr2×4＋πr2×8＝ 答案　 7．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S. 解　由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V－ABCD． (1)V＝×(8×6)×4＝64. (2)该四棱锥的两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝ ＝5.，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝ ＝4 因此S侧＝2 ＝40＋24. 能力提升 8．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　) A．21＋ B．18＋ C．21 D．18 解析　由三视图可知，该多面体为一个边长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×.×2＝21＋××＋ 答案　A 9．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是(　　) A．54 B．54π C．58 D．58π 解析　设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)， ∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得h1，，∴h＝＝ ∴V原圆锥＝×12＝54.h1＝π(3r)2×h＝3πr2× 答案　A 10．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3. 解析　由三视图可知此几何体是由两块长、宽均为3 cm，高为1 cm的长方体构成，故其体积为2×(3×3×1)＝18(cm3)．故答案为：18. 答案　18 11．如图是一个空间几何体的三视图(俯视图外框为正方形)，则这个几何体的体积为________． 解析　空间几何体正四棱柱内挖空了一个圆柱， ∵底面边长为4，高为3的长方体，圆柱的底面半径为1，∴这个几何体的体积为4×4×3－π×12×3＝48－3π. 答案　48－3π 12．一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积． 解　这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半． 根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为.＋3＝×(2＋4)×π×(1＋2)×2＋π×22＋π×12＋，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S＝ 13．(选做题)已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积； (2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解　(1)作圆锥的轴截面，如图所示． 因为x，，所以r＝R－＝ 所以S圆柱侧＝2πrx ＝2πRx－x2(0<x<H)． (2)因为－<0， 所以当x＝时，S圆柱侧最大． ＝ 故当x＝时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大． $$