1.3.2 球的体积和表面积（课后作业）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教A版必修2）

基础过关 1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是(　　) A．π B． C．4ππ D．32 解析　由题意可知，6a2＝24，∴a＝2. 设正方体外接球的半径为R，则 π.πR3＝4，∴V球＝a＝2R，∴R＝ 答案　C 2．一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为(　　) A．8 B．8 C．8 D．4 解析　∵球的半径为1，且正方体内接于球， ∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝. ∴正方体的表面积为6a2＝6×＝8. 答案　A 3．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为(　　) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 解析　由表面积公式知，两球的表面积之比为R＝1∶9.∶R 答案　A 4．设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是(　　) A．π cm3π cm3 B． C．π cm3π cm3 D． 解析　由正方体的表面积为24 cm2，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2 cm，故这个球的体积为π cm3. 答案　D 5．已知三个球的表面积之比是1∶2∶3，则这三个球的体积之比为________． 解析　设三个球的半径为a，b，c，根据球的表面积公式得出4πa2∶4πb2∶4πc2＝1∶2∶3，所以它们的半径之比为a∶b∶c＝1∶.∶3.则它们的体积之比是a3∶b3∶c3＝1∶2∶ 答案　1∶2∶3 6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为________． 解析　先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长．设正方体棱长为a，球半径为R， 则.a＝3，∴a＝，∴π，∴R＝πR3＝ 答案　 7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积． 解　如图，设球心为O，半径为r， 则Rt△AOF中， (4－r)2＋()2＝r2， 解得r＝， ∴该球的表面积为 4πr2＝4π×π.2＝ 能力提升[来源:Z#xx#k.Com] 8．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于(　　) A．1 B． C． D．2 解析　设两圆的圆心分别为O1，O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形， 于是对角线O1O2＝OE，而OE＝，＝ ∴O1O2＝，故选C． 答案　C 9．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 解析　由已知中三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形， 由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1， 顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上， 由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S＝4πR2＝4π，故选A． 答案　A 10．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为________． ，， 解析　三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径， ∵侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，， ∴，AB·AD＝，AD·AC＝，AB·AC＝ ∴AB＝，＝，∴球的直径为：，AC＝1，AD＝ ∴半径为＝6π，，∴三棱锥外接球的表面积为4π× 故答案为：6π. 答案　6π 11．一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m3. 解析　由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为； 上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V＝×2＋1×3×6＝9π＋18.π× 答案　9π＋18 12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度． 解　如图，⊙O是球的最大截面，它内切于△ABC，球的半径为r.设将球取出后，水平面在MN处，MN与CD交于点E.则DO＝r，AD＝r，r，AB＝AC＝BC＝2 ∴CD＝3r.由图形知V圆锥CE∶V圆锥CD＝＝CE3∶CD3.∶ 又∵V圆锥CD＝r)2·3r＝3πr3，( V圆锥CE＝V圆锥CD－V球O＝3πr3－πr3，πr3＝ ∴r. ∶3πr3＝CE3∶(3r)3，∴CE＝ ∴球从容器中取出后，水的深度为r. 13．(选做题)正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求： (1)棱锥的表面积； (2)内切球的