第1章 1.1.1 第1课时 集合的概念（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修1）

1．1　集　合 1．1.1　集合的含义和表示 第1课时　集合的概念 一、基础达标 1．有下列各组对象： ①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体． 其中能构成集合的个数是(　　) A．2B．3C．4D．5 答案　A 解析　①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算“比较小”没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是不是此集合的元素有明确的标准可依． 2．已知集合A由x＜1的数构成，则有(　　) A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A 答案　C 解析　很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式． 3．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案　D 解析　根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形． 4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 答案　B 解析　若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B. 5．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________． 答案　±1 解析　由a2≠1，得a≠±1. 6．若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________． 答案　3 解析　由2x－5＜0，得x＜，又x∈N， ∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3. 7．判断下列说法是否正确？并说明理由． (1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素； (4)我校的年轻教师构成一个集合． 解　(1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的． (2)不正确．因为高科技产品的标准不确定． (3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素． (4)不正确．因为年轻没有明确的标准． 二、能力提升 8．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(　　) A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可 答案　B 解析　因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一验证可得m＝3，故选B. 9．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________. 答案　6 解析　∵x∈N，且2＜x＜a，∴结合数轴知a＝6. 10．如果有一集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________． 答案　x≠0,1,2，. 解析　由集合元素互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，. 11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. 解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a， ∴a＝－1或a＝－. 则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去． 当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，∴a＝－. 三、探究与创新 12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？ 解　∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6； 当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8； 当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11. 由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 证明　(1)若a∈A，则∈A. 又∵2∈A，∴＝－1∈A. ∵－1∈A，∴＝∈A. ∵∈A，∴＝2∈A. ∴A中另外两个元素为－1，. (2)若A为单元素集，则a＝， 即a2－a＋1＝0，方程无解． ∴a≠，∴集合A不可能是单元素集． $$