第1章 1.1.2 集合的包含关系（分层训练）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修1）

1.1.2　集合的包含关系 一、基础达标 1．下列命题中，正确的有(　　) ①空集是任何集合的真子集； ②若AB，BC，则AC； ③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； ④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B. A．①②　　　　　　　　　 B．②③ C．②④ D．③④ 答案　C 解析　①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④画图易知④正确． 2．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为(　　) A．6　　　　B．5 C．4　　　　D．3 答案　A 解析　集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个． 3．设集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝x2}，则P与Q的关系是(　　) A．P⊆Q B．P⊇Q C．P＝Q D．以上都不对 答案　D 解析　集合P是指函数y＝x2的自变量x的取值范围，集合Q是指所有二次函数y＝x2图象上的点，故P，Q不存在谁包含谁的关系． 4．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若AB，则实数a满足(　　) A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4 答案　D 解析　由AB，结合数轴，得a≥4. 5．集合{－1,0,1}共有________个子集． 答案　8 解析　由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集． 6．设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有________个． 答案　6 解析　集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6(个)． 7．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集． 解　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， ∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． ∴A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． 二、能力提升 8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是(　　) A．1 B．－1 C．0,1 D．－1,0,1 答案　D 解析　因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根． (1)当a＝0时， 方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意． (2)当a≠0时， 由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1， ∴a＝±1. 此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意． ∴a＝0或a＝±1. 9．已知集合A＝{高一·三班同学}，B＝{高一·三班二组成员}，则(　　) A．A⊇B B．A⊆B C．AB D．BA 答案　D 10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则实数a的值为________． 答案　－1或2 解析　A⊇B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2. 11．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B⊆A，求实数m的集合． 解　由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3. ∴集合A＝{1,3}． (1)当B＝∅时，此时m＝0，满足B⊆A. (2)当B≠∅时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝. ∵B⊆A，∴＝1或＝3，解之得m＝3或m＝1. 综上可知，所求实数m的集合为{0,1,3}． 三、探究与创新 12．已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∁RB，求a的取值范围． 解　∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅， ∵A∁RB， ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论． (1)若A＝∅，此时有2a－2≥a， ∴a≥2. (2)若A≠∅， 则有或 ∴a≤1. 综上所述，a的取值范围是{a|a≤1或a≥2}． 13．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a的取值范围． 解　A＝{－3,2}．对于x2＋x＋a＝0， ①当Δ＝1－4a＜0，即a＞时，B＝∅，B⊆A成立； ②当Δ＝1－4a＝0，即a＝时，[来源:学科网] B＝{－}，B⊆A不成立； ③当Δ＝1－4a＞0，即a＜时，若B⊆A成立， 则B＝{－3,2}，∴a＝－3×2＝－6. 综上：a的取值范围为{a|a＞或a＝－6}. $$